2°18	Devoir surveillé n°1	samedi 2 octobre 2004	

   Ensemble de nombres      3,5 points 
Après avoir simplifié au maximum les nombres suivants, mettre une croix dans chaque case lorsque le nombre appartient à l'ensemble donné.
						
a = 						
b =  – 						
c =   						
d =  – 						
e = (10–3 + 10–2)  104						
f = 						

   Calculs divers.     8 points 
Ecrire sous forme de fraction irréductible : a =  +     –     et b = 
Simplifier : c = 5     et d= (2 + )  (1 – 2 ) + 3 
Simplifier e = 
Démontrer que  – 2 = 

   Premier ou pas ?      3,5 points 
1° La proposition : 
“ Si n est un entier naturel alors, tout nombre de la forme 6n + 5 est premier ”, 
est-elle juste ?       
2° La proposition : 
“ Si n est un entier naturel supérieur ou égal à 3 alors, tout nombre de la forme n2 – 1 n'est pas premier ”,
est-elle juste ?
On justifiera les réponses données

   Avec une calculatrice.         5 points 
Soit les réels A = 751300955011 et  B = 53125  107.
1° Décomposer B en produit de facteur premier. 
2° Une calculatrice perfectionnée donne que B = 27    512  17 et que A est un nombre premier (on ne cherchera pas à le démontrer). En déduire que la fraction  est irréductible.
3° Avec la calculatrice calculer  et  . 
On donnera les résultats donnés par la calculatrice.
Peut-on en déduire que  = C ?

   
							
a = 						 =  =  =               
    	
b =  – 						 – 8 =            
  	
c =   						 =  =  =     
      	
d =  – 						 –  =  =            
      	
e = (10–3 + 10–2)  104						10–3  104 + 10–2  104 = 10 + 100 =    
         	
f = 						f     et f est un irrationnel
f  	

  a =  +     –    =  +  –    =  +  –    =  –  =  = =  
b =  =  = –    =       
c = 5     = 5   = 5   = 5   = 5   = 
d= (2 + )  (1 – 2 ) + 3  = 2 – 4  +  – 2  3 + 3  = 
e =  =  =  =
=  = 34  22  7  5–2 = 
 =  =  = .

   
1° La proposition est fausse. Un contre exemple suffit à le démontrer.
Si n = 5, 6  5 + 5 = 5  7 n'est pas premier. 
2° La proposition est semble vraie. 
Des exemples, même nombreux ne peuvent le démontrer
pour tout entier n  3 on a : 
Comme n est supérieur à 3, n – 1 et n + 1 sont deux diviseurs de n2 – 1 différents de 1. 

53125	5	
10625	5	
2125	5	
425	5	
85	5	
17		

Donc n2 – 1 n'est pas premier.

 
1° B = 53125  107 = 53125  (2  5)7 = 55  17  27  57 = 
2° A est premier et il ne figure pas dans la décomposition en produit de facteurs premiers de B 
(On peut aussi dire que  comme A est un nombre premier strictement supérieur à 17, il n'est divisible ni par 2 ni par 5 ni par 17 )
On peut conclure (dans les deux cas) que A et B n'ont pas de diviseur commun autre que 1, et donc que   est irréductible
3° La TI 89 donne  et 
La casio collège donne   1,414213562 et   1,414213562 
On ne peut en déduire que  =    puisque la calculatrice ne donne que des valeurs approchées.
Pour aller plus loin. Peut-on démontrer que   .
La TI 89 donne  –   5 10–13  ce qui permet de conclure que   
la casio collège donne  –   0 ce qui ne permet pas de conclure que   
On sait que    et que    on peut donc affirmer que 
(   est un rationnel et  est un irrationnel  )