2°10	Devoir surveillé n°9	Lundi 22 mai 2006	

 12 points 
Dans un repère (O; , ) , on considère les points : A(1 ; 4), B(– 1 ; – 1) et C(7 ; 1).
1° Les points A, B et C sont-ils alignés ? (On justifiera la réponse par un calcul).
2° Déterminer les coordonnées des points D, E, F et J définis ci-dessous 
a) D est tel que ABCD est un parallélogramme 
b) E est le symétrique de A par rapport à C 
c) F est tel que 2  – 3  + 2  =    
d) J est le milieu de [BF] .
3° Soit  un réel et K le point tel que .  =  
a) Exprimer les coordonnées du point K en fonction de .
b) Quelle condition doit vérifier le réel  pour que les points O,K et B soient alignés.
Déterminer alors le réel .
c) déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites (OB) et (AC).

 5 points 
Soit un parallélogramme ABCD.
Le point I est le milieu de [BC] et le point E est défini par  =  .
On veut démontrer que les points D, E et I sont alignés.
Il faut donc démontrer que les vecteurs  et  sont colinéaires.
On propose deux méthodes au choix.
1ière méthode. Exprimer  et  en fonction de  et  (par exemple).
2ième méthode. On utilise un repère (D,,) (par exemple)
a) Quelles sont les coordonnées des points A, B, C et D ?
b) Quelles sont les coordonnées des points I et E ?
c) Quelles sont les coordonnées des vecteurs  et 
Conclure

 3 points 
Soit un trapèze ABCD, de bases [AB] et [CD]. On suppose que les droites (AD) et (BC) se coupent en O. On note I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [CD].
D'après le théorème de Thalès on peut dire qu'il existe un réel k tel que :  = k  et  = k .   (k ≠ 1)
1° Déterminer les coordonnées de O, A, B, C et D dans le repère (O, , )
2° Calculer les coordonnées de I et J. Démontrer que les points O, I et J sont alignés.

 Dans un repère (O; , ) , on considère les points : A(1 ; 4), B(– 1 ; – 1) et C(7 ; 1).
1° Les points A, B et C sont-ils alignés ? (On justifiera la réponse par un calcul. 
 donc   et   donc 
A, B et C alignés si et seulement si   et  sont colinéaires 
– 2  (– 3) – (– 5)  6 = 6 + 30  0 donc les vecteurs  et  ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
2° Déterminer les coordonnées des points D, E, F et J définis ci-dessous  a) D est tel que ABCD est un parallélogramme 
ABCD parallélogramme si et seulement si  = . Si D(x , y) on a :
 et   On a donc :  =          Donc D(9 ; 3)
b) E est le symétrique de A par rapport à C  
E est le symétrique de A par rapport à C si et seulement si  = . Si E(x , y) on a :
 et  . On a donc :  =        Donc E(13 , – 2)
c) F est tel que 2  – 3  + 2  =    
Si F(x ; y) on a : ,  et  et on a donc : 2  – 3  + 2  =           On a donc F(19 ; 13)
d) J est le milieu de [BC] .
xJ =  =  = 3  et yJ =  =  = 0 On a donc : J(3 ; 0) 
3° Soit  un réel et K le point tel que .  =    a) Exprimer les coordonnées du point K en fonction de .
Si K (xK ; yK) on a   et  
 =       On a donc K (1 + 6  ; 4 – 3 ) 
b) Quelle condition doit vérifier le réel  pour que les points O,K et B soient alignés. Déterminer alors le réel .
O, K et C sont alignés si et seulement si  et  colinéaires .
 et   colinéaires si et seulement si (1 + 6 )  (– 1) – (– 1)  (4 – 3 ) = 0 
(1 + 6 )  (– 1) – (– 1)  (4 – 3 ) = 0  – 1 – 6  + 4 – 3  = 0   =   
c) déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites (OB) et (AC).
K(1 + 6 ; 4 – 3 ) avec  =  donc K(1 + 2; 4 – 1) c'est à dire K (3 ; 3) 

 Soit un parallélogramme ABCD. Le point I est le milieu de [BC] et le point E est défini par  =  . On veut démontrer que les points D, E et I sont alignés. Il faut donc démontrer que les vecteurs  et  sont colinéaires.
On propose deux méthodes au choix. 1ière méthode. Exprimer  et en fonction de  et  (par exemple).
 =  +  =  +   =  +   =   +   =   +    
 =  + . On sait que I est le milieu de [BC] donc  =  .  
On sait que ABCD parallélogramme donc  =  . On a donc :  =  +   
On a : 3  =  + 2  = 2 . Les vecteurs  et  sont colinéaires donc les points D, E et I sont alignés.  

2ième méthode. On utilise un repère (D,,) (par exemple) a) Quelles sont les coordonnées des points A, B, C et D ?
 = 1  + 0  donc A (1 ; 0)
ABCD parallélogramme donc  =  +  donc B (1 ; 1)
 = 0  + 1  donc C(0 ; 1) 
b) Quelles sont les coordonnées des points I et E ?
I est le milieu de [BC] donc xI =  =  et yI =  = 1 donc I 
Si E(x ; y) on a   et  
 =            E  
c) Quelles sont les coordonnées des vecteurs  et   Conclure
   et  
  1 –    =  –  = 0 donc les vecteurs  et  sont colinéaires donc les points D, E et I sont alignés.

 Soit un trapèze ABCD, de bases [AB] et [CD]. On suppose que les droites (AD) et (BC) se coupent en O. On note I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. D'après le théorème de Thalès on peut dire qu'il existe un réel k tel que : 
 = k  et  = k .   (k ≠ 1) 1° Déterminer les coordonnées de O, A, B, C et D dans le repère (O, , )
O(0 ; 0); A (1 ; 0), B(0 ; 1), D(k , 0) et C(0 , k)   
2° Calculer les coordonnées de I et J. Démontrer que les points O, I et J sont alignés.
I est le milieu de [AB] donc xI =  et yI =  donc I   
J est le milieu de [CD] donc xJ =  et yJ =  donc  J   
  et   donc  = k  donc les vecteurs  et  sont colinéaires donc O, I et J sont alignés. 

 : A(1 ; 4), B(– 1 ; – 1) et C(7 ; 1).1° Les points A, B et C sont-ils alignés ? (On justifiera la réponse par un calcul. 
 donc   et   donc 
A, B et C alignés si et seulement si sont colinéaires 
– 2  (– 3) – (– 5)  6 = 6 + 30  0 donc les vecteurs  et  ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
2° Déterminer les coordonnées des points D, E, F et J définis ci-dessous  a) D est tel que ABCD est un parallélogramme 
ABCD parallélogramme si et seulement si  = . Si D(x , y) on a :
 et   On a donc :  =          Donc 
b) E est le symétrique de A par rapport à C  
E est le symétrique de A par rapport à C si et seulement si  = . Si E(x , y) on a :
 et  . On a donc :  =        Donc 
c) F est tel que 2  – 3  + 2  =    
Si F(x ; y) on a : ,  et  et on a donc : 2  – 3  + 2  =           On a donc 
d) J est le milieu de [BC] .
xJ =  =  = 3  et yJ =  =  = 0 On a donc 
3° Soit  un réel et K le point tel que .  =    a) Exprimer les coordonnées du point K en fonction de .
Si K (xK ; yK) on a   et  
 =       On a donc 
b) Quelle condition doit vérifier le réel  pour que les points O,K et B soient alignés. Déterminer alors le réel .
O, K et C sont alignés si et seulement si  et  colinéaires .
 et   colinéaires si et seulement si (1 + 6 )  (– 1) – (– 1)  (4 – 3 ) = 0 
(1 + 6 )  (– 1) – (– 1)  (4 – 3 ) = 0  – 1 – 6  + 4 – 3  = 0  
c) déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites (OB) et (AC).
K(1 + 6 ; 4 – 3 ) avec  =  donc K(1 + 2; 4 – 1) c'est à dire 
 Soit un parallélogramme ABCD. Le point I est le milieu de [BC] et le point E est défini par  =  . On veut démontrer que les points D, E et I sont alignés. Il faut donc démontrer que les vecteurs  et  sont colinéaires.
On propose deux méthodes au choix. 1ière méthode. Exprimer  et en fonction de  et  (par exemple).
 =  +  =  +   =  +   =   +   = 
 =  + . On sait que I est le milieu de [BC] donc  =  .  
On sait que ABCD parallélogramme donc  =  . On a donc : 
On a : Les vecteurs  et  sont colinéaires donc les points D, E et I sont alignés.  

2ième méthode. On utilise un repère (D,,) (par exemple) a) Quelles sont les coordonnées des points A, B, C et D ?
 = 1  + 0  donc 
ABCD parallélogramme donc  =  +  donc 
 = 0  + 1  donc 
b) Quelles sont les coordonnées des points I et E ?
I est le milieu de [BC] donc xI =  =  et yI =  = 1 donc 
Si E(x ; y) on a   et  
 =             
c) Quelles sont les coordonnées des vecteurs  et   Conclure
 
  1 –    =  –  = 0 donc les vecteurs  et  sont colinéaires donc les points D, E et I sont alignés.

 Soit un trapèze ABCD, de bases [AB] et [CD]. On suppose que les droites (AD) et (BC) se coupent en O. On note I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. D'après le théorème de Thalès on peut dire qu'il existe un réel k tel que : 
 = k  et  = k .   (k ≠ 1) 1° Déterminer les coordonnées de O, A, B, C et D dans le repère (O, , )
O(0 ; 0); A (1 ; 0), B(0 ; 1), D(k , 0) et C(0 , k)   
2° Calculer les coordonnées de I et J. Démontrer que les points O, I et J sont alignés.
I est le milieu de [AB] donc xI =  et yI =  donc   
J est le milieu de [CD] donc xJ =  et yJ =  donc    
 donc  = k  donc les vecteurs  et  sont colinéaires donc O, I et J sont alignés.