T S4 : 2 h	Devoir surveillé n°1	Jeudi  4 octobre 2001	

 On considère la fonctions définie sur ] –  ; – 3 ]  [1 ; +  [ par : f(x) =  .
1° Montrer que la courbe représentative Cf  de f dans un repère orthonormal (O; , ) admet la droite D d'équation " x =  1 " comme axe de symétrie.
On étudie donc f sur [ 1 ; +  [
2° Etudier les variations de f sur [ 1 ; +  [ .
3° Prouver que Cf admet en +  une asymptote  d'équation  " y = x + 1 " et préciser les positions respectives de Cf  et  .
4° Dérivabilité au point 1 . Etudier la limite à droite au point 1 du taux d'accroissement . On admettra que Cf  admet une tangente verticale au point d'abscisse 1 .
5° Tracer  puis Cf  en utilisant l'axe de symétrie D .

 Soit la fonction f définie sur   { 1 }par : f(x) =   et Cf sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (O; , ).
1° Etudier la limite de f en 1.
2° Etudier les variations de la fonction f .   ( f '(x) =    )
3° a) Déterminer les réels a , b , c et d tels que, pour tout réel x  1 , f(x) = a x + b + ,
b) En déduire que la droite D d'équation " y = x + 2 "  est asymptote à la courbe Cf .
c) Préciser la position de la courbe Cf  par rapport à D et les coordonnées du point I commun à la courbe Cf et à la droite D.
4° Déterminer l’abscisse du point J de la courbe Cf où la tangente est parallèle à D, puis l’équation de cette tangente. 
5° On se propose d'étudier les points d'intersection de la courbe Cf  avec la droite Dp d'équation " y = x + p "
a) Montrer que les abscisses des points d'intersection de Cf et de la droite Dp sont les solutions de l'équation 
(E) : (p – 2) x2 + x ( 1  2 p ) + p = 0 .
b) Pour quelles valeurs de p courbe Cf et la droite d'équation "y = x + p" ont-elles deux points communs ? 
5° Tracer Cf et D .       hors barème

 1° Calculer les limites suivantes.
	 3 x2 – 2 x +  	 	
2° Sachant que  =  ,   calculer      et    x (  1 )
3° La fonction f est définie sur  par : f (x) =  .
a) Montrer que, pour tout réel x,   f (x)  1 .
b) En déduire les limites suivantes