T S7      2 h	Devoir surveillé n°1	Mercredi 28 septembre 2005	

 On considère la suite (Un) définie par : U0 =3;Un+1 = 
1° Démontrer par récurrence que, pour tout n   , on a : 0  Un  3
2° On considère la suite (Vn) définie, pour tout n   , par : Vn = 
Démontrer que la suite (Vn) est géométrique.
3° Exprimer Vn en fonction de n. En déduire la limite de la suite (Vn).
4° En déduire la limite de la suite (Un).

 Soit a un réel strictement positif.
Démontrer que pour tout entier n  0,  (1 + a)n  1 + n a.

 Déterminer les limites suivantes   (On justifiera soigneusement)
a)   	b)  	c)  	d)  	

  Soit f la fonction définie sur    par : f(x) = .
On désigne par C   la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère (O; ; ).
1° Justifier que f est bien définie sur   .
2° Déterminer la limite de f en + ∞ et en − ∞.
3° Soit D   la droite d’équation y = x − 2.
a) Démontrer que D   est asymptote à C   en +∞.
b) Etudier la position relative de C   par rapport à D  .    (Hors barème)

 Soit la fonction f définie sur [ 0 ; 1 [  ] 1 ; +   [ par : f(x) = 
1° Déterminer la limite de f en +  . Que peut-on en déduire de la courbe C   représentative de f ?
2° Peut-on prolonger par continuité la fonction f en x0 = 1 ?

  Soit f la fonction définie sur ] –   ; 3 [  ] 3 ; +  [ par :  f(x) =  
On appelle C   la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O; ; ).
1° Calculer la limite de f en 3. 
2° a) Montrer que f peut s’écrire sous la forme : f (x) = a x + b +   où a, b et c sont des réels que l'on déterminera. 
b) En déduire que la courbe C   a une asymptote dont on donnera une équation.
c) Etudier la position de la courbe C   par rapport à la droite D   d'équation " y = 2 x + 3"
 On considère la suite (Un) définie par : U0 =3 ; Un+1 = 
1° On note P  (n) : 0  Un  3
Initialisation :
U0 = 3 donc 0  U0  3 donc P  (0) est vérifiée.
Hérédité :
Si pour un entier n la propriété P  (n) est vérifiée on a alors : 
0  Un  3 donc 1 + 0  1 + Un  1 + 3
La fonction :x   est décroissante sur  on peut donc dire que :
    1 donc 2      2 1  donc 0      2  3. 
La propriété P  (n + 1) est donc bien vérifiée.
Conclusion :  donc pour tout entier n P  (n) est vérifiée.     
2° Vn+1 =  =  =    =  = –    .
(Vn) est un suite géométrique de raison – .            
3° On a donc pour tout entier n : Vn = V0    
V0 =  =  =  et Vn =     
 < 1 donc  Vn = 0                   
4° Vn =   donc Vn( Un + 2) = Un – 1 donc Vn Un + 2 Vn = Un – 1 donc Un Vn – Un = – 2 Vn – 1 
donc Un (Vn – 1) = – 2 Vn – 1 donc Un =     (pour tout entier n Vn  1)
On a donc  Un =  = 1.             
 On note P  (n) : (1 + a)n  1 + n a.
Initialisation.
 donc (1 + a)0 = 1 + 0  a donc P  (0) est vérifiée.
Hérédité.
Si pour un entier n la propriété P  (n) est vérifiée On a : (1 + a)n  1 + n a.
a > 0 donc 1 + a > 0.
On a donc : (1 + a)  (1 + a)n  (1 + a)  (1 + n a) donc (1 + a)n+1  1 + n a + a + n a2  1 + a (n + 1)
car n a2  0. On peut donc dire la ^propriété P  (n + 1) est vérifiée.             

x	–   		– 1		1		+   	
1 – x2 		–	0	+	0	–		

 a)    =   =  x = +   .   

b)   :   Signe de 1 – x2  : 
  donc   = +  . 

c)   
x2 – 5 x + 6 = (x – 2) (x – 3) et x2 – 3 x + 2 = (x – 2) (x – 1) donc  =  = .
   =    =  = – 1.      

d)  
pour tout réel x : – 1  sin x  1 donc – 1 + 1  sin x + 1  1 + 1 donc        (x > 0)
On a donc pour tout réel x : 0       
On sait que   = 0 donc en appliquant  la théorème des gendarmes on peut dire que :   

  1° Etude du signe de  x2 – 4 x + 8. On a   = 16 – 4  8 =  – 16 <0 donc pour tout réel x, x2 – 4 x + 8  0.
La fonction f est bien définie sur   .
2° On pose X = x2 – 4 x + 8.   
 donc   = +   
 donc   = +   
3° f(x) – (x – 2) =  – (x – 2) =  
=  =  = 
 donc    + x – 2 = +   donc  = 0.
On a donc  f(x) – (x – 2) = 0 donc la courbe représentative de f admet la droite d'équation "y = x – 2" comme asymptote en +  .    
b) On doit étudier le signe de f(x) – (x – 2) = 
1ier cas : x – 2  0.
On a alors  + (x – 2)  0 (somme de deux nombres positifs) donc   0 donc C   est au dessus de D  
2ième cas x – 2  0
on a alors – (x – 2)  0 donc  –  (x – 2)  0 (somme de deux nombres positifs) 
donc C   est au dessus de D     

 1° f(x) =  =   on a :    donc   = – 1.
la courbe C   admet la droite d'équation "y = – 1" comme asymptote. 
2°  – x +  = – 1 +  = 0 et  x – 1 = 0 On a donc une forme indéterminée. 
 =  =  =– = – 
  =  –  = –  = – 
Variante. On pose X = 
 =  =  = – 
  donc   =  –  = –  
on peut donc prolonger la fonction f par continue en posant f (1) = –            
  1°   donc  f(x) = –  .  
2° a) pour tout réel x  3
 = a x + b +   
  = 
 2 x3 – 9 x2 + 26 = a x3 – 6 a x2 + 9 a x + b x2  – 6 b x + 9 b + c
 2 x3 – 9 x2 + 26 = a x3 + (– 6 a + b) x2 + (9 a – 6 b) x + 9 b + c
par identification on obtient : 
      On a donc : f(x) = 2 x + 3 –       
b)  –  = 0 =  – 
La droite d'équation "y = 2 x + 3" est donc asymptote à C   en +   et en –  .  
c) f(x) – (2 x + 3) = –   0.