T S5	Devoir surveillé n°3	Mardi 25 novembre 2003	

On considère la fonction f définie sur  par : f(x) = x +  
On désigne par C  sa courbe représentative (unité graphique 2 cm).
1° Montrer que cette fonction est impaire.
2° Montrer que, pour x  , on a : f(x) = x + 1 –  = x – 1 + 
3° Calculer les limites de f en +   et –  .
4° Prouver que les droites D  : y = x + 1 et D ' : y = x – 1 sont asymptotes à la courbe C .
5° Etudier les variations de la fonction f.
6° Déterminer l'équation de la tangente T  à C  au point d'abscisse 0.
Soit g la fonction définie sur  par : g(x) = f(x) – . Démontrer que la fonction g est décroissante. 
En déduire la position de C  par rapport à T 
7° Tracer la courbe C  et les droites D , D ' et T .

Soit la suite de points M, du plan complexe d'affixes respectives définies par : 
z0 = 8 et pour tout n  , zn+1 =  zn.1° Calculer le module et un argument de . Ecrire ce nombre complexe sous forme trigonométrique.
2° Calculer zl, z2, z3 et vérifier que z3 est réel. Placer dans le plan les points M0, Ml, M2 et M3 
3° Calculer le rapport  et en déduire que le triangle OMnMn+1 est rectangle et que :
 =   

1° Ecrire sous forme trigonométrique le complexe 1 + i.
2° On pose z =  ei avec   ]0, + [ et   [0 ;]
2° a) Calculer z2 et (1 + i)  en fonction de  et  ( désignant le complexe conjugué de z)
b) En déduire la valeur r de  pour laquelle on a l'égalité : (1) z2 = (1 + i) .
c) Déterminer les valeurs 0, 1 et 2 de  telles que z =  ei vérifie l'égalité (1).
On note respectivement z0, z1 et z2 les nombres complexes de module r et d'arguments 0, 1 et 2.
3° Soit A1 et A2 les points d’affixes respectives : zl – z0, et z2 – z0 dans le plan complexe, et O le point d'affixe nulle.   Calculer, sous sa forme trigonométrique, le nombre complexe :  
En déduire que le triangle OA1A2 est équilatéral.