LIBAN JUIN 2004

Le plan complexe est rapporté au repère (O,,). On prendra pour unité graphique 2 cm.
1° Résoudre dans  l’équation
(z −2 i) z2 – 2 z + 2)= 0.
Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme exponentielle (justifier les réponses).
2° Soient A et B les points d’affixes respectives zA = 1 + i et zB = 2 i.
A tout complexe z différent de A on associe le complexe
z ' = 
a) Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z tels que z ' soit imaginaire pur. Montrer que B  (E).
Déterminer et construire l’ensemble (E).
b) Soit (F) l’ensemble des points M d’affixe z tels que : | z ' | = 1.
Déterminer et construire (F).
3° Soit R la rotation de centre Ω  et d’angle .
a) Calculer l’affixe du point B ' , image de B par R et l’affixe du point I ', image par R du point I .
b) Quelles sont les images de (E) et (F) par R ?

CORRECTION

1° (z − 2 i) (z2 − 2 z + 2) = 0 si et seulement si z = 2 i ou z2 − 2 z + 2 = 0
 = (– 2)2 – 4  2 = – 4 les racines de z2 – 2 z + 2 sont donc :  et 
z2 − 2 z + 2 = 0 si et seulement si z = 1 + i ou z = 1 − i.
D'où les solutions de l’équations : z1 = 2 i z2 = 1 + i et z3 = 1 − i
z1 = 2 ei/2  z2 =  ei/4 et z3 =  e–i /4
2° a) zB = 2 i donc zB' =  = 0
L’affixe de l’image B' de B est 0, donc B'  (E)
On suppose M  A.
M  E si et seulement si z'  i    si et seulement si   i  si et seulement si   i   
si et seulement si arg  = (2 k + 1)  si et seulement si ( ; ) = (2 k + 1)  si et seulement si   
E est donc le cercle de diamètre [AB] privé de A
b) | z' | = 1 si et seulement si |z − 2 i| = |z − 1 − i| et z  1 + i si et seulement si | z – zA | = | z – zB | si et seulement si MA = MB (F) est donc la médiatrice du segment [AB]
Variante plus "calculatoire".
 =  =  
 =  =  +  i
(E) est le cercle d'équation " x2 – x + y2 – 3 y + 2 = 0" privé de A.
(F) est la droite d'équation "– x – y + 2 = 0"

3° R  rotation de centre   d'angle .
a)	L'écriture complexe de R est : z' – z = ei/2 (z – z) c’est à dire z ' = i z – i  +  + i 
z' = i z –  +  +  +  = i z + 4 + i.
zB ' = i  2 i + 4 + i = 2 + i.    D’où l’affixe de R(B) est 2 + i.
L’affixe de R(I) est : zI ' = i  + 4 + i =  –  + 4 + i =  + 
b) (E) est le cercle de diamètre [AB] privé de A
 =  =  +  = zI . I est le centre du cercle (E)
L'image de (E) par R est le cercle de centre I' qui passe par B' privé de R(A).
zA' = i (1 + i) + 4 + i = i – 1 + 4 + i = 3 + 2 i.
| zA – zB | = | 1 + i – 2 i| = . L'image de (E) par R est le cercle de centre I' de rayon 
(F) est la médiatrice de [AB] donc l'image de (F) par R est la médiatrice de [A' B']