Exercice 1} (4 points}
Pour chacune des huit affirmations (entre guillemets) ci -dessous, préciser si elle est vraie ou fausse.
{Le  candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la mention « vrai » ou « faux ».}
Une réponse correcte rapporte 0,5 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, l'absence de réponse  ne rapporte  ni n'enlève de points. Un éventuel total négatif sera ramené à zéro.

1.	« Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a ;+  [, alors
  f (x) = –  »

2.	Soient f et g  deux fonctions définies sur [0 ; +   [,  g ne s'annulant pas :
«Si  f(x) = –   et si  g(x) = +   alors   = – 1 »

3.	« Si f est une fonction définie sur [ 0 , +   [ telle que 0  f(x)   alors   = 0 ».

4.	On considère un repère (O; ; ) du plan. 
« Si f  est une fonction définie sur  alors la droite d'équation  x = 0 est asymptote à la courbe représentative de f dans le repère (O; ; ) ».

5.	« La fonction f définie sur    par f (x) = (x2 + 3 x + 1) ex est une solution sur    de l'équation différentielle  y' – y = (2 x + 3) ex  ».

6.	Soient A, B, C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients  3 et – 2. 
«Si G est le barycentre des points A,  B et C  affectés respectivement des coefficients 3, – 2 et 1 alors G est le milieu du segment [CI] ».

7.	Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C affectés respectivement des coefficients 3, – 2 et 1 
« L'ensemble des points M du plan tels que || 3  – 2  +  || = 1  est le cercle de centre G et de rayon 1 ».

8.	Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne par M un point quelconque du plan.
« Le produit scalaire  •   est nul si et seulement si M =  A ou M =  B ».

correction

Exercice 1  (4 points}
1.	« Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a ;+  [, alors   f (x) = –  »
Faux : contre-exemple. la fonction f définie sur [1 , + [ par f(x) =  est strictement décroissante et  f(x) = 0.

2.	Soient f et g  deux fonctions définies sur [0 ; +   [, g ne s'annulant pas :
«Si  f(x) = –   et si  g(x) = +   alors   = – 1 »
Faux : contre exemple. soient f et g définies sur [ 0 , +   [ par : f(x) = – x2  et g(x) = x.
 – x2  = –  ,  g(x) = x et   =   =  – x = –        est une forme indéterminée.

3.	« Si f est une fonction définie sur [ 0 , +   [ telle que 0  f(x)   alors   = 0 ».
Vrai : 0  f(x)   donc en multipliant par x > 0 on obtient : 0    
On utilise le théorème des gendarmes.   =   = 0 donc   = 0.

4.	« Si f  est une fonction définie sur  alors la droite d'équation  x = 0 est asymptote à la courbe représentative de f dans le repère (O; ; ) ».
Faux : contre-exemple. la fonction f définie sur  par f(x) =  n'admet pas la droite d'équation x = 0 comme asymptote car  f(x) = 0. 

5.	« La fonction f définie sur    par f (x) = (x2 + 3 x + 1) ex est une solution sur    de l'équation différentielle  y' – y = (2 x + 3) ex  ».
Vrai : f '(x) = (2 x + 3) ex + (x2 + 3 x + 1) ex 
f'(x) – f(x) = (2 x + 3) ex + (x2 + 3 x + 1) ex – (x2 + 3 x + 1) ex = (2x + 3) ex 

6.	Soient A, B, C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients  3 et – 2.

G bary	I	C	
	1	1	

G bary	A	B	C	
	3	– 2	1	

«Si G est le barycentre des points A,  B et C  affectés respectivement des coefficients 3, – 2 et 1 alors G est le milieu du segment [CI] ».
Vrai 						donc par associativité

7.	Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C affectés respectivement des coefficients 3, – 2 et 1 
« L'ensemble des points M du plan tels que ||3 – 2 + || = 1 est le cercle de centre G et de rayon 1»
Faux : G le barycentre de A, B et C affectés respectivement des coefficients 3, – 2 et 1 donc 
3  – 2  +  = (3 – 2 + 1)  et || 3  – 2  +  || = 1  2 MG = 1
On obtient un cercle de centre G de rayon 

8.	Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne par M un point quelconque du plan.
« Le produit scalaire  •   est nul si et seulement si M =  A ou M =  B ».
Faux : Si M est un point du cercle de diamètre [AB] alors on a  •  = 0, M  A et  M  B