PONDICHERY, 1994
On se propose de trouver une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ] 0 ; +  [ , s'annulant pour x = 1 et vérifiant la propriété : 
pour tout x > 0 , x f '(x) – 3 f (x) = 3 ln x                 (E)
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
1° Trouver toutes les fonctions polynômes P du troisième degré telles que, pour tout x réel, x P '(x) – 3 P(x) = 0.
2° Soit une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ] 0 ; +  [ telle que f (1) = 0 ; soit h la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; +  [ par la relation f (x) = x3 h(x) .
a) Calculer h(1) .
b) Calculer f '(x) en fonction de h '(x) et de h(x) .
c) Montrer que f vérifie la propriété (E) si et seulement si, pour tout x>0, h '(x) =   ln x.
d) On suppose que f vérifie la propriété (E). 
Montrer que h est définie sur l'intervalle ] 0 ; +  [ par h(x) = .
Déterminer h(x) à l'aide d'une intégration par parties.
3° Montrer qu'il existe une fonction f et une seule, solution du problème posé, et en donner l'expression.

Correction

1° P(x) = a x3 + b x2 + c x + d et P '(x) = 3 a x2 + 2 b x + c
x P '(x) – 3 P(x) = 0  x (3 a x2 + 2 b x + c) – 3 (a x3 + b x2 + c x + d) = 0 
 3 a x3 + 2 b x2 + c x – 3 a x3 – 3 b x2 – 3 c x – 3 d = 0      P(x) = a x3 
2° f(x) = x3  h(x)   
a) f(1) = 13 h(1) donc h(1) = 0.
b) f '(x) = 3 x2  h(x) + x3 h '(x).
On a : 
f vérifie (E)
  x   ] 0 , +  [, x f '(x) – 3 f(x) = 3 ln x 
 x  ] 0 , +  [, x (3 x2  h(x) + x3 h '(x)) – 3 x3 h(x) = 3 ln x
  x  ] 0 , +  [, 3 x3 h(x) + 3 x3 h '(x) – 3 x4 h(x) = 3 ln x
  x  ] 0 , +  [, h '(x) =    
on peut donc dire : f vérifie (E) si et seulement si h est une primitive de la fonction : x  
d) Pour déterminer une primitive de x   ln x on utilise une intégration par partie (hors programme bac blanc)
u(t) = ln t donc u '(t) =  et v '(t) =  et v(t) = 3  = –    
 =   –  = –  +   = –  –  +  
3° f solution du problème si et seulement si f est définie sur [ 0 ; +   [ par : f(x) = x3  h(x) avec h primitive de x   et h(1) = 0 c’est à dire h : x  .
La seule solution du problème est donc la fonction f définie sur ] 0 ; +   [ par : 
f(x) = x3  = – ln x –  + .