Liban mai 2006                
EXERCICE 1        5 points          Commun à tous les candidats
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal (O; , ,) , on donne les points 
A(2 ; 1 ; 3), B(– 3 ; – 1 ; 7) et C(3 ; 2 ; 4).
1° Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 
2° Soit (d) la droite de représentation paramétrique  
a) Montrer que la droite (d) est orthogonale au plan (ABC).
b) Donner une équation cartésienne du plan (ABC).
3° Soit H le point commun à la droite (d) et au plan (ABC).
a) Montrer que H est le barycentre de (A ; – 2), (B ; – 1) et (C ; 2).
b) Déterminer la nature de l’ensemble 1, des points M de l’espace tels que
(– 2  –  + 2  ) • ( – ) = 0
En préciser les éléments caractéristiques.
c) Déterminer la nature de l’ensemble 2, des points M de l’espace tels que:
|| – 2  –  + 2  || = 
En préciser les éléments caractéristiques.
d) Préciser la nature et donner les éléments caractéristiques de l’intersection des ensembles 1 et 2.
e) Le point S (– 8 ; 1 ; 3) appartient-il à l’intersection des ensembles 1 et 2.

correction

Liban mai 2006 EXERCICE 1  5 points   Commun à tous les candidats   Dans l’espace muni d’un repère orthonormal (O;,,) , on donne les points A(2 ; 1 ; 3), B(– 3 ; – 1 ; 7) et C(3 ; 2 ; 4).  1° Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 
  donc  
  donc  
Les vecteurs  et A ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
2° Soit (d) la droite de représentation paramétrique   a) Montrer que la droite (d) est orthogonale au plan (ABC).
Le vecteur  est un vecteur directeur de (d)
 •  = 2  (– 5) + (– 3)  (– 2) + 1  4 = – 10 + 6 + 4 = 0 donc    donc (d)  (AB)
 •   = 2  1 + (– 3)  1 + 1  1 = 2 – 3 + 1 = 0 donc    donc (d)  (AC).
b) Donner une équation cartésienne du plan (ABC).
 est un vecteur normal de (ABC) donc une équation du plan (ABC) est de la forme :
2 x – 3 y + z = 2 xA – 3 yA + zA c'est à dire 2 x – 3 y + z = 2  2 – 3  1 + 3   
Equation de (ABC) : 
3° Soit H le point commun à la droite (d) et au plan (ABC). a) Montrer que H est le barycentre de (A ; – 2), (B ; – 1) et (C ; 2).
Soit G le barycentre de (A ; – 2), (B ; – 1) et (C ; 2).
xG =  = – 5                 	yG =  = – 3	zG =  = 5	
G est le barycentre de (A ; – 2), (B ; – 1) et (C ; 2) donc G  (ABC)
Le point G est-il un point de (d)
  t = 1 donc G est un point de (d). G est le point d'intersection de (d) et de (ABC) donc G = H

b) Déterminer la nature de l’ensemble 1, des points M de l’espace tels que (– 2  –  + 2  ) • ( – ) = 0
En préciser les éléments caractéristiques.
H est la barycentre de {(A ; – 2), (B ; – 1) et (C ; 2)}, donc pour tout point M, 
– 2  –  + 2  = (– 2 – 1 + 2)  = – 
 –  =  +  =  
M  1  –  •  = 0     
Donc 1 est donc le plan perpendiculaire à (BC) passant par H.
c) Déterminer la nature de l’ensemble 2, des points M de l’espace tels que: || – 2  –  + 2  || = 
En préciser les éléments caractéristiques.
M  2  || –  || =  
2 est la sphère de centre H de rayon 
d) Préciser la nature et donner les éléments caractéristiques de l’intersection des ensembles 1 et 2.
Le plan 1 passe par le centre de la shère 2 donc l'intersection de 1 et de 2 est un cercle de centre H de rayon 
e) Le point S (– 8 ; 1 ; 3) appartient-il à l’intersection des ensembles 1 et 2. 
H(– 5 ,– 3 , 5) donc   et SH =  =  =  donc S  2
  et  •  = 3  6 + (– 4)  3 + 2  (– 3) = 18 – 12 – 6 = 0 donc S  1. 
Le point S est bien à l'intersection de 1 et 2