Polynésie novembre 2003. EXERCICE 2 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O; ; ) on considère les points A(3 ; 0 ; 10), B(0 ; 0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0).
1° a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
b) Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E(9 ; 0 ; 0).
c) Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2° Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.
a) Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.
b) Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).
c) Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne 20 x + 9 y + 12 z − 180 = 0.
d) Montrer que le système  a une solution unique. Que représente cette solution?
e) Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC.
3° En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en 2° c)?

correction

1° a)         c’est à dire 

b) E  (AB)   t     / . On a :     t = – 2.
E est le point de (AB) de paramètre – 2 et de plus E  (Ox) 
c)  n'a pas de solution donc C  (AB).
2° a)(EH) est la hauteur issue de E dans le triangle OBC donc (EH)  (BC)
  et   on a :  •   = 0  9 + 20  0 – 15  0 = 0. Donc (BC)  (OE)
 donc (BC)  (OEH).
 donc (BC)  (EH) donc dans le triangle EBC (EH) est la hauteur issue de E.
b)   est un vecteur normal du plan (OEH) donc une équation du plan (OEH) est de la forme : 
0  x + 20  y – 15  z + d = 0  4 y – 3 z + d = 0.
O  (OEH) donc 4  0 – 3  0 + d = 0  d = 0
Equation du plan (OEH) : 4 y – 3 z = 0.
c)   et  . recherche d'un vecteur  normal au plan (ABC).
      – 3 a + 5 c = 0   et       a  0 + b  20 – c  15 = 0.
On pose a = 20. On a alors :       
  équation du plan (ABC) : 20 x + 9 y + 12 z = 20 xA + 9 yA + 12 zA = 20  3 + 9  0 + 12  10 = 180.
Equation de (ABC) : 20 x + 9 y + 12 z – 180 = 0.
d)       
cette solution donne les coordonnées du point d'intersection du plan (ABC) avec la droite D  définie par . 

La droite D   a pour représentation paramétrique : 
Le vecteur directeur    de cette droite est colinéaire au vecteur (BC). c'est donc la droite de vecteur directeur  passant par O c’est à dire la droite (OH).
Le point d'intersection du plan (ABC) avec la droite D  est le point H donc H 
d(O, (ABC)) = OH =  =  =  = 12.
  •   = 0) d'après le théorème de pythagore dans le triangle OEH rectangle en O on a :
EH2 = OE2 + OH2 = 81 + 144 = 225 donc EH = 15.
Aire (EBC) =  =  =  = 
3° On note d = d(O, (EBC)) = d(O, (ABC)) car E  (AB) donc (EBC) = (ABC)
V(OEBC) =  Aire (EBC)  d =  OE  Aire (OBC)
 Aire (EBC) =  et Aire (OBC) =  =  = 150. (OBC rectangle en O)
On a donc :     d =   150  9  d = 150  9   = 
d =  =  =