EXERCICE 2 (6 points) 
Partie A
Soient, dans l'espace E, quatre points A, B, C et D distincts deux à deux.
1° Montrer que ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, D est le barycentre du système 
{(A, 1), (B, – 1), (C, 1)}.    (1 point)
2° On suppose que ABCD est un parallélogramme.
Déterminer l'ensemble (S) des points M de l'espace E tels que : ||  +  +  || = BD        (1 point)
3° On suppose maintenant que ABCD est un rectangle.
Déterminer l'ensemble () des points M de l'espace E tels que 
MA2 – MB2 + MC2 = BD2        (1 point)
Partie B
On considère dans l'espace E deux parallélogrammes ABCD et A'B'C'D' ainsi que les milieux I, J, K et L de [AA'], [BB'], [CC'] et [DD'] respectivement.
1° Montrer que L est barycentre des points I, J et K affectés de coefficients que l'on précisera. En déduire que IJKL est un parallélogramme.       (1 point)
2° Soient O, Q et P les centres respectifs des parallélogrammes IJKL, ABCD et A'B'C'D'.
Montrer que O est le milieu de [PQ].          (1 point)

correction

Polynésie 1997
Partie A Soient, dans l'espace E, quatre points A, B, C et D distincts deux à deux. 1° Montrer que ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, D est le barycentre du système  {(A, 1), (B, – 1), (C, 1)}.    (1 point)
ABCD parallélogramme si et seulement si  = 
D barycentre de (A,1), (B,– 1), (D,1) si et seulement si  –  +  =  
 =    +  –  =      –  +  =   
On a donc bien : ABCD parallélogramme si et seulement si D barycentre de (A,1), (B,– 1), (C,1).
2° On suppose que ABCD est un parallélogramme. 
Déterminer l'ensemble (S) des points M de l'espace E tels que : ||  +  +  || = BD        (1 point)
D barycentre de (A,1), (B,– 1), (C,1) donc pour tout point M de E on a :  –  +  = (1 – 1 + 1) 
||  –  +  || = BD  ||  || = BD  MD = BD.
M décrit donc le cercle de centre D de rayon BD c’est à dire le cercle de centre D passant par B.
3° On suppose maintenant que ABCD est un rectangle. Déterminer l'ensemble () des points M de l'espace E tels que 
MA2 – MB2 + MC2 = BD2        (1 point)
MA2 – MB2 + MC2 =  •  –  •  +  •  
=  •  + 2  •  +  •  –  •  – 2  •  –  •  +  • + 2  •  +  •  
= MD2 + 2  • ( –  + ) + DA2 – DB2 + DC2
ABCD est un rectangle donc D barycentre de (A,1), (B,– 1), (D,1) donc  –  +  =  
ABCD est rectangle donc ADC est rectangle en D et DA2 + DC2 = AC2 et ses diagonales ont la même longueur donc AC2 = BD2 donc DA2 – DB2 + DC2 = AC2 – DB2 = 0.
On a donc : MA2 – MB2 + MC2 = MD2 + 2  • ( –  + ) + DA2 – DB2 + DC2 = MD2 – 2  •  + 0 
On a donc bien : MA2 – MB2 + MC2 = MD2 
Partie B On considère dans l'espace E deux parallélogrammes ABCD et A'B'C'D' ainsi que les milieux I, J, K et L de [AA'], [BB'], [CC'] et [DD'] respectivement. 1° Montrer que L est barycentre des points I, J et K affectés de coefficients que l'on précisera. En déduire que IJKL est un parallélogramme.       (1 point)
D barycentre de (A,1), (B,– 1), (C,1) et D' barycentre de (A',1), (B',– 1), (C',1).
L est le barycentre de (D,1 – 1 + 1), (D',1 – 1 + 1)
En utilisant l'associativité des barycentres on peut dire que
L barycentre de (A,1), (B,– 1), (C,1), (A',1), (B',– 1), (C',1).
 donc L barycentre (I,2), (J,– 2), (K,2).
L barycentre de (I,1), (J,– 1), (K,1) donc IJKL est un parallélogramme.
2° Soient O, Q et P les centres respectifs des parallélogrammes IJKL, ABCD et A'B'C'D'. Montrer que O est le milieu de [PQ].  (1 point)
O milieu de [IK] donc O barycentre de (I,2), (K,2) donc par associativité on a :
O barycentre de (A,1), (A',1), (C,1), (C',1) 
P centre de ABCD donc P barycentre de (A,1), (C,1)
Q centre de A'B'C'D' donc Q barycentre de (A',1), (C',1)
Par associativité on a donc : O barycentre de (P,2), (Q,2).
O est bien le milieu de [PQ].