Nouvelle-Calédonie novembre 2005

Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n’est plus qu’à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu’il effectue la traversée en ligne droite au
maximum de ses possibilités, c’est à dire à . . .30 km/h !
L’avant du camion est représenté par le segment [CC '] sur le schéma ci-dessous.
Le lapin part du point A en direction de D.
Cette direction est repérée par l’angle  =  avec 0   <   (en radians).

1° Déterminer les distances AD et CD en fonction de  et les temps t1 et t2 mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD.
2° On pose f (θ) =  + 2 tan θ – 
Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f (θ) > 0.
3° Conclure.
Rappel :
La fonction x  tan x est dérivable sur [0 ,  [  et a pour dérivée la fonction x  

correction

Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n’est plus qu’à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu’il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c’est à dire à .30 km/h !
L’avant du camion est représenté par le segment [CC '] sur le schéma ci-dessous. Le lapin part du point A en direction de D.
Cette direction est repérée par l’angle  =  avec 0   <   (en radians).

1° Déterminer les distances AD et CD en fonction de  et les temps t1 et t2 mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD.
Dans le triangle ABD rectangle en B on a : cos  =  donc AD =  = 
tan  =  donc BD = AB  tan  = 4 tan  donc CD = 7 + 4 tan 
Si d1 est la distance CD et Km et t1 le temps en heures.   v1 =  = 60  Km h–1 et d1 = 
Si d2 est la distance AD et Km et t1 le temps en heures.   v2 =  = 30 K h–1 et d2 = 0,007 + 0,004 tan 
On a donc t1 =  =  
et t2 = 
2° On pose f (θ) =  + 2 tan θ –   
Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f (θ) > 0.
le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si t1 < t2
t1 < t2   <    – (7 + 4 tan ) < 0   –  – 2 tan  < 0  f() > 0
3° Conclure. Rappel :
La fonction x  tan x est dérivable sur [0 ,  [  et a pour dérivée la fonction x  
f ' () =  4   +  =  
f '(x) est du signe de 2 – 4 sin . 
2 – 4 sin   0  sin     sin   sin      car la fonction sin est croissante sur 

x	0					
signe de f ' 		+	0	–		
	– 	f 		
f				–    	

f() =   +   et  f() = –   
f  =  +  =  – 2   0,036.
le lapin a une chance !
La calculatrice donne les solutions approchées de l'équation f () = 0 :
  0,39 et   0,64
les variations de f donnent : f() > 0    ]  ,  [
  22,6 degré et   36,9 degrés.
Le lapin pour échapper au camion doit partir avec un angle compris entre 23° et 36° environ