On considère les suites (Un) et (Vn) définies, pour tout entier naturel n non nul, par :
  et Vn = Un – ln n pour n  1
1° a) Calculer U2 , U3  et U4 .
b) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : Un = .
2° a) Montrer que, pour tout entier naturel k non nul :      
b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a les inégalités suivantes :
Un – 1  ln n  Un –  et 0  Vn  1.
c) En déduire le sens de variation de la suite (Vn).
3° Montrer que la suite (Vn) converge. On note  la limite de la suite (Vn) (on ne cherchera pas à caluler ).
Quelle est la limite de la suite (Un) ?

correction

On considère les suites (Un) et (Vn) définies, pour tout entier naturel n non nul, par :   
et Vn = Un – ln n pour n  1 1° a) Calculer U2 , U3  et U4 .
U2 = U1 +  = 1 +  =     U3 = U2 +  =  +  =     U4 = U3 +  =  +  = 
b) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : Un = .     Démontrons le par récurrence.
Initialisation : U1 = 1 =   
Hérédité : 
Considérons un entier  n  1,  tel que : Un = . ,  démontrons qu'alors : Un+1 = .
Un+1 = Un +  = . +  = .
Conclusion : pour tout entier naturel n  1, Un = . 
2° a) Montrer que, pour tout entier naturel k non nul :     
Si 0 < k  x  k + 1 alors on a :       car la fonction inverse est décroissanet sur 
d'après le théorème de la moyenne on a alors :  (k + 1 – k)      (k + 1 – k) 
donc     
b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a les inégalités suivantes :
Un – 1  ln n  Un –  et 0  Vn  1.
ln n =  =     et      donc         
   = .  = Un –  = Un – 1 et   =   –  = Un – 
On a donc bien : Un – 1  ln n  Un –   
Un – ln n – 1  0  Un – ln n –  donc Un – ln n  1 et Un – ln n   donc 0 <   Vn  1
c) En déduire le sens de variation de la suite (Vn).
Vn+1 – Vn = Un+1 – ln (n + 1) – Un + ln n  = Un+1 – Un – ln (n + 1) + ln n =  – 
On sait que :       donc Vn+1 – Vn  0 donc (Vn) est décroissante.
ln n  Un –  et ln (n + 1)  Un+1 – 1 donc Vn+1 – Vn    + Un –  – (Un+1 – 1)   + Un –  – Un+1 + 1
3° Montrer que la suite (Vn) converge. On note  la limite de la suite (Vn) (on ne cherchera pas à caluler ).
Quelle est la limite de la suite (Un) ?
(Vn) est décroissante et minorée par 0 elle est donc convergente.
Un = Vn + ln n .  Vn =  et  ln n = +   donc  Un = +  .