f est la fonction définie sur  par : f(x) = x – 1 + (x2 + 2) e–x  .C  est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; , ) (unité graphique : 2 cm). 
1° a) Démontrer que la droite  d'équation y = x – 1 est asymptote à P   en +  .  
b) Préciser la position de C   par rapport à     
2° g est la fonction définie sur  par : g(x) = 1 – (x2 – 2 x + 2)e–x .  
a) Calculer la dérivée de g et déterminer le signe de g'(x).   
b) Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique  dans  et justifier que   0,35 <  < 0,36 . 
3° Démontrer que f() =  (1 + 2 e ). 
4° a) Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction P définie sur  par P(x) = (a x2 + b x + c)e–x  soit une primitive sur  de la fonction x  (x2 + 2)e–x .   
b) Calculer en fonction de , l'aire A en cm2 du domaine limité par C,   et les droites d'équations x = –  et x = 0
c) Justifier que : A = 4 e2 + 8 e – 16.	
 Ne connaissant pas de primitive de la fonction f définie sur [0 ; 1 ] par f(x) =  , on se propose de calculer une valeur approchée de l'intégrale I =  dx.
1° a) En étudiant les variations de la fonction f, démontrer que pour tout nombre réel x de [ 0 ; 1/2 ]: 
1  f (x)          
b) En déduire que    . 
2° a) Démontrer que pour tout réel de [ 0 ; 1/2 ] :  = 1 + x +                
b) En déduire que  : I = (1 + x) e–x dx + x2 f(x) dx  c) Calculer J = (1 + x) e–x dx .  
d) En déduire une valeur approchée à 10–2 près de l'intégrale I.	
 f et g sont les fonctions définies sur  [ 0 ; +  [ par : f(x) = ln (1 + x) et g(x) =  
On note C  la représentation graphique de f et , celle de g dans un repère orthonormal (O; , ), (unité graphique 2 cm). 
1° a) Etudier le sens de variation de la fonction h définie sur [ 0; +  [ par h(x) = f(x) – g(x). 
b) En déduire que pour tout réel x de [ 0 ; +  [ :   ln (1 + x)    
c) Etudier les variations des fonctions f et g. 
d) Représenter graphiquement les courbes C  et  dans le même repère.  
e) Montrer que les courbes C  et  l'admettent en O une même tangente D  que l'on tracera.
2° a) Vérifier que pour x  – 1 :  = 1 –  . 
b) A l'aide d'une intégration par parties, calculer :
I = ln (1 + x) dx  
c) En déduire le calcul de J = (x ‑ ln (1 + x)) dx.
3° a) Déterminer les réels a et b tels que pour x  –2 ,  = a +  .  
b) En déduire le calcul de K = (ln (1 + x) –  dx.  
c) Interpréter géométriquement les valeurs des intégrales J et K en utilisant les courbes C ,  et la droite D .
4° u est la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par u(0) = 1 et si x  0, u(x) =    
a) Démontrer que la fonction u est continue sur [ 0 ; 1 ] .   
b) On pose L =  u(x) dx . 
Montrer que :   dx  L  1. En déduire d'une valeur approchée de L à 10–1 près.	

 1° a) (x2 + 2) e–x = x2 e–x + 2 e–x  On sait que :  x2 e–x =  2 e–x = 0   
f(x) = x – 1 + (x) avec  (x) = 0 donc  la droite  d'équation y = x – 1 est asymptote à P   en + .
b) f(x) – (x – 1) = (x2 + 2) e–x  0 Donc C   est au dessus de .
2° g(x) = 1 – (x2 – 2 x + 2) e–x 
a) g'(x) = 0 – ((2 x – 2) e–x – (x2 – 2 x + 2))e–x) = (– 2 x + 2 + x2 – 2 x + 2) e–x = (x2 – 4 x + 4) e–x = (x – 2)2 e–x  0

x	 				+	
signe de g' '			+			
					+   	
g						
	–   					

b) g est continue et strictement croissante sur , 
g(0,35)  0  g(0,36)  on peut donc dire qu'il existe un réel  
compris entre 0,35 et 0,36 solution de l'équation g(x) = 0.
3° g() = 0  1 – (2 – 2  + 2) e–  = 0
 (2 – 2  + 2) e–  = 1  (2 + 2) e– = 1 + 2  e– 
f() =  – 1 + (2 + 2) e– =  – 1 + 1 + 2  e– =  (1 + 2 e ).
4° a) P(x) = (a x2 + b x + c)e–x  . P '(x) = (x2 + 2)e–x
 (2 a x + b) e–x – (a x2 + b x + c) e–x = (x2 + 2)e–x  (2 a x + b – a x2 – b x – c) e–x = (x2 + 2)e–x 
      P(x) = – (x2 + 2 x + 4) e–x
c) A   =   4 cm2 =   4 cm2 = (P(0) – P(– ))  4 cm2 
= 4  (– 4 + (2 – 2  + 4) e  ) cm2 
(2 – 2  + 2) = e   donc A   = 4  (– 4 + (2 – 2  + 2) e  + 2 e ) = – 16 + 4 e2  + 8 e 

 1) a) f '(x) =  est du signe de x.. f est donc croissante sur [ 0 , 1/2 ]
 x  [ 0 , 1/2 ], f(0)  f(x)  f(1/2) donc 1  f(x)  
b) 0  1/2 et  x  [ 0 , 1/2 ], 1  f (x)   et donc : x2   x2    x2 
On peut donc intégrer les inégalité entre 0 et 1/2 
   dx .  donc    x2  dx  
et donc    dx   c’est à dire    dx . 
2° a) 1 + x +  =  =  = 
I =  dx. =  = x + 
J = (1 + x) e–x dx .  Intégrons par parties. 
J =  –  = –  e–1/2 + (1 + 0) e0 –  = –  + 1 –  + e0 
= –  + 2 
I = J + x2 f(x) dx  et    dx .  donc  + J  I   + J on a  + I  – 3,4747 et  + J  – 3,4574
I  – 3,46 

 1) a) h(x) = f(x) – g(x) = ln (1 + x) – 
h '(x) =  –  =  =  =   0
donc h est croissante sur [ 0 +  [
b)  x  [ 0 ; +   [, h(x)  h(0) donc ln (1 + x) –   ln (1 + 0)  –  donc ln (1 + x)  
c) f '(x) =   0 f est croissante sur  
g'(x) =   0 g est croissante sur 
e) f(0) = ln (1 + 0) = 0 et g(0) =  = 0 et f '(0) =  = 1 et g '(0) =  = 1 
les tangentes ont donc la même équation : y = 0 + 1  (x – 0) c’est à dire y = x.
2° a) 1 –  =  = 
b)   I = ln (1 + x) dx =  –  
= ln 2 – 0 –  = ln 2 –  = ln 2 – 1 + ln 2 + 0 – ln 1 = 2 ln 2 – 1.
c) J = (x ‑ ln (1 + x)) dx. =  – (2 ln 2 – 1) =  – 2 ln 2 + 1 =  – 2 l n 2 + 1 =  – 2 ln 2.
3° a)   = a +    =    =       
 = 2 – 
b) K =  dx =  –  = 2 ln 2 – 1 –  
= 2 ln 2 – 1 – 2 + 4 ln 3 + 0 – 4 ln 2 = 4 ln 3 – 2 ln 2 – 3
c) Pour tout réel x de [ 0 1 ], ln (1 + x) –   0.  Sur [0 , 1], C   est au dessus de . 
K représente en ua l'aire de la partie du plan limitée par C  ,  et les droites d'équation x = 0, x = 1.
 a pour équation y =x. et C   a pour équation y = ln 'x+) On étudie la position de C   par rapport à .
Soit j(x) = f(x) – x = ln (x + 1) – x.   j '(x) =  – 1 =  = –  
Pour tout réel x de [0 ,1], j '(x) < 0 donc j est décroissante sur [ 0 , 1]
j(0) = 0 donc pour tout réel x de (0 , 1], j(x) < 0.
Sur [0 , 1],  est au dessus de C  .
J représente en ua l'aire de la partie du plan limitée par C  ,  et les droites d'équation x = 0, x = 1.
4° a) u est le quotient de deux fonctions continues sur ] 0 , 1 ] elle est donc continue sur ] 0 , 1 ] 
Continuité en 0 :   = 1 = u(0) donc u en bien continue en 0.
On a vu que pour tout réel x de [ 0 , 1 ],  ln(x + 1)  x donc   1   (car x > 0)
On a vu que pour tout réel x de [ 0 , 1 ],   ln(x + 1)  donc    (car x > 0)
On a donc pour tout réel x de [ 0 , 1 ],     1
On intègre les inégalités : :   dx  L    :   dx  L      dx  L  1
  dx =  = 2 ln 3 – 2 ln 2  0,81.  L  0,9