La Réunion, 1997
Pour n entier naturel non nul, soit fn la fonction d´efinie sur I = [0 ; +∞[ par : 
fn(x) =  e–x
Soit a un élément non nul fixe dans I. Pour tout entier naturel n, on pose :
In(a) = 
1° Calculer I0(a).
2° Montrer que, pour tout x de I et pour tout n de  : f 'n(x) = fn–1(x) − fn(x) et fn(0) = 0
et en déduire que, pour tout n > 1 :
In(a) − In–1(a) = −  e−a.
3° En déduire que pour tout n > 0, In(a) = 1 −  e–a 
4° Dans cette question, on pose a = 1.
On appelle (Un) la suite numérique définie pour tout n   par : 
Un = 1 −  e–1 = 
On note Cn  la courbe représentative de fn dans le repère orthonormal R   (unité graphique : 4 cm).
a) Montrer que pour tout entier naturel n, Un > 0 et donner une interprétation géométrique de Un.
b) Montrer que pour tout entier naturel n, et pour tout x  [0 ; 1] :
fn(x)   xn
c) En déduire l’encadrement pour tout entier naturel n : 0  Un   puis la limite de Un.
d) Déduire enfin que  e =  

correction

Pour n entier naturel non nul, soit fn la fonction d´efinie sur I = [0 ; +∞[ par : fn(x) =  e–x  Soit a un élément non nul fixe dans I. Pour tout entier naturel n, on pose : In(a) =   1° Calculer I0(a).
I0(a) =  =  = [– e–x]  = – e–a + e0 = 1 – e–a.
2° Montrer que, pour tout x de I et pour tout n de  : f 'n(x) = fn–1(x) − fn(x) et fn(0) = 0 et en déduire que, pour tout n > 1 :
In(a) − In–1(a) = −  e−a.
f 'n(x) =  e–x +  (– e–x) =  e–x –  e–x = fn–1(x) – fn(x)
3° En déduire que pour tout n > 0, In(a) = 1 −  e–a 
Initialisation : I0(a) =  et 1 −  e–a = 1 –  e–a = 1 – e–a  La propriété est vérifiée pour n = 0.
Hérédité : Soit n un entier telque In(a) = 1 −  
On sait que pour n + 1  1 on a :  In+1(a) – In(a) = –  e–a  donc In+1(a) = In(a) –  e–a  
n est tel que In(a) = 1 −  on a donc In+1 = 1 −  –  e–a  = 1 – 
Conclusion : pour tout entier naturel n,  In(a) = 1 −  
Variante :  (mais c'est toujours par récurence) 
Pour tout entier naturel n supétiuer ou égale à 1 on a In – In–1 = –  e–a donc 
 en ajoutant membre à membre les inégalités on obtient In – I0 = –  
c'est à dire In = 1 – 

4°  Dans cette question, on pose a = 1. On appelle (Un) la suite numérique définie pour tout n   par : 
Un = 1 −  e–1  =  On note Cn  la courbe représentative de fn dans le repère orthonormal R   (unité graphique : 4 cm). a) Montrer que pour tout entier naturel n, Un > 0 et donner une interprétation géométrique de Un.
Pour tout réel x de [ 0 ; 1 ], fn(x)  0 donc   0.
16 Un est l'aire de la partie du plan limitée par la courbe Cn , l'axe des abscisses, l'axe des ordonées et la droite d'équation x = 1.
b) Montrer que pour tout entier naturel n, et pour tout x  [0 ; 1] : fn(x)   xn 
Pour tout réel x de [ 0 ; 1 ], e–x  e0 donc e–x  1 donc  e–x  
c) En déduire l’encadrement pour tout entier naturel n : 0  Un   puis la limite de Un.
Pour tout réel x de [ 0 ; 1 ],  fn(x)   En intégrant les inégalités sur [ 0 ; 1 ] on obtient
   et comme  = =  on peut dire que Un  
On a vu aussi que Un  0, on peut donc conclure.
d) Déduire enfin que e =  
Pour tout entier naturel n, 0  Un   et   = 0 donc d'après le théorème des gendarmes la suite (Un) converge et  Un = 0.
Un = 1 −  e–1 donc   e–1 = 1 – Un 
 Un = 0 donc    e–1  = 1 donc    = e.