Antilles-Guyane   septembre 2002

PROBLEME
Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par :
  où ln désigne la fonction logarithme népérien. 
On note C   sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique : 10 cm).
On admet que  f (x) = 0 et  f (x) = 0, ainsi que le résultat suivant : pour  > 0,  x ln x = 0.
Partie A - Etude de la fonction f
1° a) Déterminer la limite quand x tend vers 0 de l’expression 
b) En déduire la limite quand x tend vers 0 de l’expression  ; que peut-on en déduire pour la courbe C   ?
2° Montrer que pour tout x  ] –  ,  [, f  = f    Que peut-on en conclure pour C ?
3° Soit  la fonction définie sur ] 0 ; 1[ par : (x) = (1 – x) ln(1 – x) – x ln x.
a) Déterminer  '(x), puis montrer l’égalité   " (x) =  ; en déduire les variations de  ' sur ] 0 ; 1[.
b) Montrer que  ' s’annule en deux valeurs 1 et 2 sur ] 0 ; 1 [ (on ne cherchera pas à calculer ces valeurs). Donner le signe de  ' sur ] 0 ; 1 [.
c) Déterminer la limite quand x tend vers 0 de l’expression  (x) et la limite quand x tend vers 1 de  (x). 
Calculer   . En déduire le signe de  (x) sur ] 0 ; 1 [.
4° a) Montrer que f '(x) a même signe que  (x) sur ] 0 ; 1 [.
b) Donner le tableau de variations de f .
c) Montrer que, pour tout x  ] 0 ; 1 [, les inégalités suivantes sont vraies : 0 < (ln x) × ln(1 – x)  (ln 2)2.
d) Tracer C .
Partie B - Encadrement d’une intégrale 
Pour t  ] 0 ,  [ , on pose : I1(t) = , I2(t) = , I(t) = .
1° a) A l’aide d’intégrations par parties, montrer que : 
I1(t) = –  –  –  t2  ln t +     et     I2(t ) = −  −  −  + 
b) Déterminer les limites de I1(t) et de I2(t) quand t tend vers 0. 
2° Soit g et h les fonctions définies sur ] 0 ;  [  par g(x) = –  et h(x) = g(x) – 
a) Etudier sur ] 0 ;  [ les variations de la fonction    x  ln(1 – x) – g(x).
b) En déduire que, pour tout x  ] 0 ;  [   ln(1 - x)  g(x).
c) Par un procédé analogue, montrer que pour tout x  ] 0 ;  [   ln(1 – x)  h(x).
d) En déduire un encadrement de f (x) sur ] 0 ; [ .
3° a) Montrer que – I1(t) –  I2(t)  I(t)  – I1(t) – I2(t).
b) En supposant que I(t) admet une limite notée l  quand t tend vers 0, donner un encadrement de l .

Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par :   où ln désigne la fonction logarithme népérien. 
On note C   sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique : 10 cm). 
On admet que  f (x) = 0 et  f (x) = 0, ainsi que le résultat suivant : pour  > 0,  x ln x = 0.
Partie A - Etude de la fonction f 1° a) Déterminer la limite quand x tend vers 0 de l’expression 
On sait que   =   = ln '(1) =  = 1 
donc   = 1 et donc  = – 1.
On démontre (hors sujet) que  f(x) = 0
f(x) = x ln x      donc  f(x) = 0
On démontre (hors sujet) que  f(x) = 0
On pose X = 1 – x  x = 1 – X    f(x) = ln (1 – X) ln X = f(X)
 donc  f(x) = 0
b) En déduire la limite quand x tend vers 0 de l’expression  ; que peut-on en déduire pour la courbe C   ?
 = ln x         donc  ln x   = +   
 =  donc f n'est pas dérivable en 0. 
Comme f est continue on peut dire que  C  admet en O une tangente verticale.     
2° Montrer que pour tout x  ] –  ,  [, f  = f    Que peut-on en conclure pour C ?
f  = ln   ln  = ln   ln 
f  = ln   ln  = ln   ln  on a donc bien f  = f 
La droite d'équation x =  est donc axe de symétrie de C  .
On a vu que  f(x) = 0 et   = +   donc par symétrie on peut dire que   f(x) = 0 et   = +   
3° Soit  la fonction définie sur ] 0 ; 1[ par : (x) = (1 – x) ln(1 – x) – x ln x.

x	
0				
1	
"(x)		–	0	+		
						
 '		 ' 		

a) Déterminer  '(x), puis montrer l’égalité   " (x) =  ; en déduire les variations de  ' sur ] 0 ; 1[.
 '(x) = – ln (1 – x) + (1 – x)   – ln x – x   = – ln (1 – x) – ln x – 2 
 "(x) = –  –  =  –  =  = 
Pour tout réel x de ] 0 ; 1 [, x (1 – x) < 0 
donc  "(x) est du signe de 2 x – 1

b) Montrer que  ' s’annule en deux valeurs 1 et 2 sur ] 0 ; 1 [ (on ne cherchera pas à calculer ces valeurs).
 Donner le signe de  ' sur ] 0 ; 1 [.
 '  = – ln  –  ln  – 2 = – ln  – ln  – 2 = 2 ln 2 – 2 < 0
– ln (1 – x) = 0 et – ln x = +   donc  (– ln (1 – x) – ln x – 2) = + 
 – ln (1 –x) = +  et  – ln x = 0 donc  (– ln (1 – x) – ln x – 2) = + 
 ' est continue et strictement croissante sur ] 0 ,  [, 0   ' donc l'équation  '(x) = 0 admet une et une seule solution 1 dans l'intervalle ] 0,  [ 

x	0  		1		2		1  	
 '(x)		+	0	–	0	+		

De même donc l'équation  '(x) = 0 admet une et une seule solution 2 dans l'intervalle ]  , 1 [ 
D'après les variations de  ' on peut dire que

c) Déterminer la limite quand x tend vers 0 de l’expression  (x) et la limite quand x tend vers 1 de  (x). 

x	
0		
1		
2		
1	
'(x)		+	0	–	0	+		
							0	
				0				
	0							

Calculer   . En déduire le signe de  (x) sur ] 0 ; 1 [.
(x) = (1 – x) ln(1 – x) – x ln x.   
et  donc  (1 – x) ln (1 – x) = 0
 donc  (1 – x) ln (1 – x) – x ln x = 0
X = 1 – x  x = 1 – X  et  (x) = X ln X – (1 – X) ln (1 – X) = –  (X)

x	
0  				
1	
(x)		+	0	–		

 donc   (x)  =  – (X) = 0
'  =  ln  –  ln  =  ln  –  ln   = 0 
On a vu que 1 <  < 2 donc d'après les variations de  
4° a) Montrer que f '(x) a même signe que  (x) sur ] 0 ; 1 [.
f(x) = (ln x)  ln (1 – x).  f est le produit de deux fonctions dérivables sur ]0 ; 1[, elle est donc dérivable sur ]0;1[.

x	
0  				
1	
f '(x)		+	0	–		
		(ln 2)2		
f						
	0				0	

f '(x) =   ln (1 – x) + ln x    =  = 
Pour tout réel x de ] 0 ; 1 [, x (1 – x) > 0 
donc f '(x) est du signe de (x).
b) Donner le tableau de variations de f .
f  = ln   ln  =  = (ln 2)2
c) Montrer que, pour tout x  ] 0 ; 1 [, les inégalités suivantes sont vraies : 0 < (ln x) × ln(1 – x)  (ln 2)2.
d'après les variations de f on peut dire que pour tout réel x de ] 0 ; 1[, 0  f  
c'est à dire 0  (ln x)  ln (1 – x)  (ln 2)2 

d) Tracer C .
Partie B - Encadrement d’une intégrale Pour t  ] 0 ,  [ , on pose : I1(t) = , I2(t) = , I(t) = .
1° a) A l’aide d’intégrations par parties, montrer que : I1(t) = –  –  –  t2  ln t +  .
  Les fonctions u et v sont dérivables et les fonctions u ' et v ' sont continues sur l'intervalle d’intégration on peut donc intégrer par partie.I1(t) =   – 
I1(t) =  ln  –  ln t –  = –  –  –  = –  –  –  + 
  Les fonctions u et v sont dérivables et les fonctions u ' et v ' sont continues sur l'intervalle d’intégration on peut donc intégrer par partie.I2(t) =   – 
I2(t) =  ln  –  ln t –   = –  –  –  +  
b) Déterminer les limites de I1(t) et de I2(t) quand t tend vers 0. 
 I1(t) =  –  –  –  +  = –  –  
–  –  –  +  = –  –  donc  I2(t) = –  –  
2° Soit g et h les fonctions définies sur ] 0 ;  [  par g(x) = –  et h(x) = g(x) – 
a) Etudier sur ] 0 ;  [ les variations de la fonction    x  ln(1 – x) – g(x).
Soit g1 définie sur ] 0 ;  [ par g1(x) = ln (1 – x) + 
g1 est dérivable sur ] 0 ; 1[ et g1'(x) =  + 1 + x =  =  = – 
pour tout réel x de ] 0 ; 1[, g1'(x)  0 donc g1 est décroissante sur ] 0 ; 1[
b) En déduire que, pour tout x  ] 0 ;  [   ln(1 – x)  g(x).
g1(0) = ln (1 – 0) – g(0) = 0 et g1 décroissante sur ] 0 ;  [ 
donc pour tout réel x de ] 0 ;  [ g1(x)  0 donc ln (1 – x)  g(x)

c) Par un procédé analogue, montrer que pour tout x  ] 0 ;  [   ln(1 – x)  h(x).
Soit h1 la fonction définie sur ] 0 ;  [ par h1(x) = ln (1 – x) – h(x) = ln (1 – x) – g(x) +  = ln (1 – x) + x + x2 

x	0				1	
x	0	+		+		
1 – 2 x 		+	0	–		
1 – x		+		+	0	
P(x)						

h1 estdérivable sur ] 0 ;  [ et
h1'(x) =  + 1 + 2 x =  
=  = 
Donc sur ] 0 ;  [ h1(x)  0 donc h1 est croissante sur ] 0 ;  [ 
h1(0) = ln (1 – 0) + 0 + 02 = 0 donc pour tout réel x de ] 0 ;  [, h1(x)  0 et donc ln (1 – x)  h(x)
d) En déduire un encadrement de f (x) sur ] 0 ; [ .
Pour tout réel x de ] 0 ;  [, ln x  0 et h(x)  ln (1 – x)  g(x) donc h(x)  ln x  (ln x)  ln (1 – x)  ln x  g(x) c'est à dire 
ln x    f(x)  ln x  (– x – x2 ) 
3° a) Montrer que – I1(t) –  I2(t)  I(t)  – I1(t) – I2(t).
Pour tout réel x de ] 0 ;  [, ln x    f(x)  ln x  (– x – x2 ) 
On peut intégrer les inégalités sur l'intervalle ] t ;  [.
     
donc –  –    I(t)  –  – 
donc – I1(t) –  I2(t)  I(t)  – I1(t) – I2(t).
b) En supposant que I(t) admet une limite notée l  quand t tend vers 0, donner un encadrement de l .
 I1(t) = –  –  et  I2(t) = –  –   donc 
  +  +  +   l    +  +  +  donc
0,170    l    0,192