France septembre 2004  EXERCICE 2 6 points
L’exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie.
Le but de ce problème est d’étudier, pour x et y éléments distincts de l’intervalle ] 0 ; +  [, les couples solutions de l’équation xy = yx (E) et, en particulier, les couples constitués d’entiers.
1° Montrer que l’équation (E) est équivalente à  =  .
2° Soit h la fonction définie sur l’intervalle ] 0 ; +  [ par h(x) = .
La courbe C   représentative de la fonction h est donnée en annexe ; x0 est l'abscisse du maximum de la fonction h sur l’intervalle ] 0 ; +  [.
a) Rappeler la limite de la fonction h en +  et déterminer la limite de la fonction h en 0. 
b) Calculer h '(x), où h ' désigne la fonction dérivée de la fonction h ; retrouver les variations de la fonction h.
Déterminer les valeurs exactes de x0 et de h(x0).
c) Déterminer l’intersection de la courbe C   avec l’axe des abscisses.
3° Soit  un élément de l’intervalle ] 0 ,  [ .
Prouver l'existence d’un unique nombre réel a de l’intervalle ] 1 ; e [ et d’un unique nombre réel b de l’intervalle 
] e ; +  [ tels que h(a) = h(b) = .
Ainsi le couple (a, b) est solution de (E).
4° On considère la fonction s qui, à tout nombre réel a de l’intervalle ]1 ; e [, associe l’unique nombre réel b de l’intervalle ] e ; +  [ tel que h(a) = h(b) (on ne cherchera pas à exprimer s(a) en fonction de a).
Par lecture graphique uniquement et sans justification, répondre aux questions suivantes
a) Quelle est la limite de s quand a tend vers 1 par valeurs supérieures ?
b) Quelle est la limite de s quand a tend vers e par valeurs inférieures ?
c) Déterminer les variations de la fonction s. Dresser le tableau de variations de s
5° Déterminer les couples d’entiers distincts solutions de (E).

correction

Le but de ce problème est d’étudier, pour x et y éléments distincts de l’intervalle ] 0 ; +  [, les couples solutions de l’équation
 xy = yx (E) et, en particulier, les couples constitués d’entiers. 1° Montrer que l’équation (E) est équivalente à  =  .
x > 0 et y > 0. On a : xy = yx  ln (xy) = ln (yx)  y ln x = x ln y   = 
2° Soit h la fonction définie sur l’intervalle ] 0 ; +  [ par h(x) = . La courbe C   représentative de la fonction h est donnée en annexe ; x0 est l'abscisse du maximum de la fonction h sur l’intervalle ] 0 ; +  [.
a) Rappeler la limite de la fonction h en +  et déterminer la limite de la fonction h en 0. 
On sait que   = 0. (croissances comparrée des fonctions ln et x  x.
On a :    donc   = –  .
b) Calculer h '(x), où h ' désigne la fonction dérivée de la fonction h ; retrouver les variations de la fonction h.
Déterminer les valeurs exactes de x0 et de h(x0).

x	0		e		+	
signe de h ' '		+	0	–		
						
h						
	–   			0	

h est le quotient de deux fonctions dérivables sur ] 0 ; +  [ donc h est dérivable sur ] 0 ; +  [ 
h '(x) =  = 
h '(x)  0    0  1 – ln x  0  1  ln x  x  e. 
On a donc x0 = e et f(x0) = 
c) Déterminer l’intersection de la courbe C   avec l’axe des abscisses.
Il faut résoudre l'équation h-(x) = 0.     = 0  ln x = 0  x = 1.
3° Soit  un élément de l’intervalle ] 0 ,  [ .  Prouver l'existence d’un unique nombre réel a de l’intervalle ] 1 ; e [ et d’un unique nombre réel b de l’intervalle  ] e ; +  [ tels que h(a) = h(b) = . Ainsi le couple (a, b) est solution de (E).
La fonction h est continue et strictement croissante sur ] 1 , e [ ,  h(1) = 0 et h(e) =  .
 appartient ] 0 ,  [ donc d'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires l'équation h(x) =  admet une solution a dans l'intervalle ] 1 , e [
La fonction h est continue et strictement croissante sur ] e , +  [ ,  h(e) =   et  h(x) = 0.
 appartient ] 0 ,  [ donc d'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires l'équation h(x) =  admet une solution b dans l'intervalle ] e ; +  [
4° On considère la fonction s qui, à tout nombre réel a de l’intervalle ]1 ; e [, associe l’unique nombre réel b de l’intervalle
] e ; +  [ tel que h(a) = h(b) (on ne cherchera pas à exprimer s(a) en fonction de a). Par lecture graphique uniquement et sans justification, répondre aux questions suivantes 
a) Quelle est la limite de s quand a tend vers 1 par valeurs supérieures ?
Quand a tend vers 1 alors  = h(a) tend vers 0 et b = s(a) tend vers +   

a	1		e	
	+   		
s				
			e	

b) Quelle est la limite de s quand a tend vers e par valeurs inférieures ?
Quand a tend vers e alors  = h(a) tend vers  et b = s(a) tend vers e.
c) Déterminer les variations de la fonction s. Dresser le tableau de variations de s.
Quand a augmente  augmante aussi et b = s(a) diminue. 
Donc s est décroissante sur ] 1 , e [
5° Déterminer les couples d’entiers distincts solutions de (E).
2 est le seul entier naturel de l'intervalle ] 1 , e [. h(2) = h(4) donc le couple (2,4) est le seul couple d'entier distincts solution de (E).