Polynésie septembre 2001 Problème   11 points 
Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O; ; ). 
L’unité graphique est 4 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.
Partie A
Soit f la fonction définie sur  par : f (x) = (2 + cos x) e1-x .
On note C   la courbe représentative de f dans le repère (O; ; ).
1° Montrer que, pour tout x de  : f (x) > 0.
2° a) Montrer que, pour tout x de  :  cos  = cos x + sin x.
b) En déduire que, pour tout x de  : 2 + cos x + sin x > 0.
c) Montrer que f est strictement décroissante sur .
3° a) Montrer que, pour tout x de  : e1-x < f (x) < 3 e1-x.
b) En déduire les limites de f en +   et en –  .
c) Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite de f en +  .
4° a) Montrer que, sur l’intervalle [ 0 ;  ], l’équation f (x) = 3 admet une solution unique .
b) Donner un encadrement de  d’amplitude 10 –2.
5° Représenter la courbe C   sur [ 0 ;  ].
Partie B
On veut calculer l’aire A  , exprimée en unités d’aire, du domaine limité par la courbe C  , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1.
1° Montrer que : A   = 2 e – 2 + .
2° On pose : I =  et J = .
a) A l’aide de deux intégrations par parties, montrer que :
I = – cos 1 + e – J et J = – sin 1 + I.
b) En déduire la valeur de I.
3° Déterminer la valeur exacte de A   en unités d’aire, puis donner une valeur approchée de A   si à 10-2 près par défaut.
Partie C
Soit h la fonction définie sur  par : h(x) = – 1 – .
1° a) Montrer que la fonction h admet des primitives sur .
b) Calculer la primitive H de la fonction h, qui prend en 0 la valeur (1 + ln 3).
2° a) Déterminer ln (f (x)) pour tout x de .
b) Etudier le sens de variations de la fonction H.
c) Déterminer le tableau de variations de H.
3° On appelle  la courbe représentative de la fonction définie sur  par x   1 – x + ln (2 + cos x).
(On ne demande pas de représenter .) 
On appelle  la droite d’équation y = – x +1.
a) Etudier la position relative de  et de .
b) Déterminer les abscisses des points communs à  et .
4° a) Etablir une équation de la tangente T à  au point d’abscisse 0. 
b) Etudier la position relative de  et T.

correction

5° Montrer que la courbe  est contenue dans une bande du plan limitée par deux droites parallèles dont on donnera des équations.

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O; ; ).  L’unité graphique est 4 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées. Partie A  Soit f la fonction définie sur  par : f (x) = (2 + cos x) e1-x . On note C   la courbe représentative de f dans le repère (O; ; ). 1° Montrer que, pour tout x de  : f (x) > 0.
 x  , – 1  cos x  1 donc  2 + cos x  2 – 1 > 0
  , e1–x > 0 donc f(x) > 0.
2° a) Montrer que, pour tout x de  :  cos  = cos x + sin x.
cos  = cos x cos  – sin x sin  =  cos x +  sin x 
donc  cos  =    cos x +    sin x = cos x + sin x.
b) En déduire que, pour tout x de  : 2 + cos x + sin x > 0.
Pour tout réel x on a : 2 + cos x + sin x = 2 +  cos   2 –  > 0
c) Montrer que f est strictement décroissante sur .
f est le produit de deux fonctions dérivables sur  donc f est dérivable sur .
 f '(x) = – sin x e1–x + (2 + cos x)  (– e1–x) = – e1–x (2 + cos x + sin x) 
Pour tout réel x , e1–x > 0 et 2 + cos x + sin x > 0 donc f '(x) < 0 donc f est décroissante sur .
3° a) Montrer que, pour tout x de  : e1-x < f (x) < 3 e1-x.
Pour tout réel x 
– 1  cos x  1 donc 2 – 1  2 + cos x  2 + 1 donc 1  2 + cos x  3 donc e1–x  (2 + cos x) e1–x  3 e1–x  car e1–x > 0.
b) En déduire les limites de f en +   et en –  .
On pose X = 1 – x. On a  1 – x = –   donc  e1–x =  eX = 0 et  3 e1–x =  3 eX = 0 
d'après le théorème des gendarmes on a donc  f = 0.
c) Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite de f en +  .
 f(x) = 0 donc la droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe C  .
4° a) Montrer que, sur l’intervalle [ 0 ;  ], l’équation f (x) = 3 admet une solution unique .
f est continue et strictement décroissante sur [ 0 ,  ], f(0) = (2 + 1 + 0) e1–0 = 3 e  et f() = (2 – 1 + 0) e1– = e1– 
Comme 3  [ e1– , 3 e ] on peut dire, en utilisant le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation f(x) = 3 a une solution unique dans [ 0 ;  ]
b) Donner un encadrement de  d’amplitude 10 –2.
f(0,87) > 3 > f(0,88) donc -0,87 <  < 0,88.
5° Représenter la courbe C   sur [ 0 ;  ]. voir plus bas .
Partie B On veut calculer l’aire A  , exprimée en unités d’aire, du domaine limité par la courbe C  , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1.  1° Montrer que : A   = 2 e – 2 +  .
C   est au-dessus de l'axe des abscisses donc :
A  =  =  +  
=  +  = – 2 e0 + 2 e1–0 +  =  2 e – 2 + 
2° On pose : I =  et J = . a) A l’aide de deux intégrations par parties, montrer que :
I = – cos 1 + e – J et J = – sin 1 + I.
  Les fonctions u et v sont dérivables et les fonctions u ' et v ' sont continues sur l'intervalle d’intégration on peut donc intégrer par partie. 
I =   –  = – cos 1 e0 + cos 0 e1–0 – J = – cos 1 + e – J
   Les fonctions u et v sont dérivables et les fonctions u ' et v ' sont continues sur l'intervalle d’intégration on peut donc intégrer par partie : 

I =   –  = sin 1 e1–1 – sin 0 e1–0 + J = sin 1 + J donc J = I – sin 1.
b) En déduire la valeur de I.
I = – cos 1 + e – J = – cos 1 + e – ( I – sin 1) = – cos 1 + e – I + sin 1 donc 2 I = sin 1 – cos 1 + e 
 et donc I =  
3° Déterminer la valeur exacte de A   en unités d’aire, puis donner une valeur approchée de A   si à 10-2 près par défaut.
A   = 2 e – 2 + I = 2 e – 2 +  =  =   4,96.
L'aire cherchée est égale à 4  2  A   cm2  39,57 cm2
Partie C Soit h la fonction définie sur  par : h(x) = – 1 – . 1° a) Montrer que la fonction h admet des primitives sur .
x fonction  est le quotient de deux fonctions continues sur  elle est donc continue là où elle est définie c'est à dire sur . La fonction h est la somme de deux fonctions continues sur  elle est donc continue sur  et admet donc des primitives sur .
b) Calculer la primitive H de la fonction h, qui prend en 0 la valeur (1 + ln 3).
u(x) = 2 + cos x et u '(x) = – sin x donc –  =  admet des primitives de la forme x ln | 2 + cos x | + C où c est une constante . 
Les primitives de h sont donc de la forme H(x) = – x + ln | 2 + cos x | + C 
Pour tout réel x,   2 + cos x  > 0 donc H(x) = – x + ln (2 + cos x) + C
H(0) = 1 + ln 3  – 0 + ln (2 + cos 0) + C = 1 + ln 3  ln 3 + C = 1 + ln 3  c = 1 et donc la fonction H est définie sur  par : H(x) = – x + ln (2 + cos x) + 1.
2° a) Déterminer ln (f (x)) pour tout x de .
ln (f(x) = ln ((2 + cos x) e1–x ) = ln (2 + cos x) + ln (e1–x) = 1 – x + ln (2 + cos x) = H(x)
b) Etudier le sens de variations de la fonction H.
H(x) = ln (f(x)) donc H '(x) = .

x			+	
signe de H'		–		
	+   		
H				
		–   	

On a vu que pour tout réel x f(x) > 0 donc H'(x) est du signe de f '(x). 
On a vu que pour tout réel x f '(x) < 0 donc h '(x) < 0 donc H est décroissante sur .
Variante : H '(x) = h(x) = – 1 –  = – .
on a vu que pour tout réel x , 2 + cos x + sin x > 0 et 2 + cos x > 0 donc H '(x) > 0.
c) Déterminer le tableau de variations de H.
pour tout réel x, 1 – x + ln (2 – 1)  1 – x + ln (2 + cos x)  1 – x + ln (2 + 1)
Pour tout réel x, 1 – x  H(x)  1 – x + ln 3. d'après les théorèmes de compraison de limites on a :
 1 – x = +   donc  H(x) = +   
 1 – x + ln 3 = –    donc  H(x) = –   
3° On appelle  la courbe représentative de la fonction définie sur  par x   1 – x + ln (2 + cos x).
(On ne demande pas de représenter .) On appelle  la droite d’équation y = – x +1. a) Etudier la position relative de  et de .
H(x) – (– x + 1) = ln (2 + cos x). Pour tout réel x , 2 + cos x  2 – 1  1 donc ln (2 + cos x)  0.
 est toujours au-dessus de 
b) Déterminer les abscisses des points communs à  et .
H(x) = 1 – x  ln (2 + cos x) = 0  2 + cos x = 1  cos x = – 1  x =  + 2 k  où k est un entier relatif.
4° a) Etablir une équation de la tangente T à  au point d’abscisse 0. 
H(0) = 1 – 0 + ln (2 + cos 0) = 1 + ln 3 et H '(0) = – 1 –  = – 1
y = H(0) + H '(0)  (x – 0)  y = ln 3 + 1 – x.

b) Etudier la position relative de  et T.
H(x) – (ln 3 + 1 – x) = ln (2 + cos x) – ln 3 = ln 
Pour tout réel x  2 + cos x  3 donc   1 donc ln   0 donc H(x)  ln 3 + 1 – x
 est au dessus de T.
5° Montrer que la courbe  est contenue dans une bande du plan limitée par deux droites parallèles dont on donnera des équations.
On a vu que pour tout réel x, 1 – x  H(x)  1 – x + ln 3. 
 est donc entre les droites T et .