Amérique du Sud novembre 2004 

EXERCICE 3		5 points
On note pA(B) la probabilité conditionnelle de l’évènement B sachant que l’évènement A est réalisé.
Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au toucher.
1° On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne. 
On note A0 l’évènement ; « on n’a obtenu aucune boule noire » ;
On note A1 l’évènement : « on a obtenu une seule boule noire » ; 
On note A2 l’évènement : « on a obtenu deux boules noires ».
Calculer les probabilités de A0, A1 et A2.
2° Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l’urne.
On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne.
On note B0 l’évènement : « on n’a obtenu aucune boule noire au tirage no 2 » 
On note B1 l’évènement : « on a obtenu une seule boule noire au tirage no 2 » 
On note B2 l’évènement : « on a obtenu deux boules noires au tirage no 2 »
a) Calculer pA(B0), pA(B0) et pA(B0).
b) En déduire p(B0).
c) Calculer p(B1) et p(B2).
d) On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. 
Quelle est la probabilité d’avoir obtenu une seule boule noire lors du premier ?
3° On considère l’évènement R : « il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient extraites de l’une ».
Montrer que p(R) =  .

correction

On note pA(B) la probabilité conditionnelle de l’évènement B sachant que l’évènement A est réalisé. Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au toucher. 1° On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne. On note A0 l’évènement ; « on n’a obtenu aucune boule noire » ; On note A1 l’évènement : « on a obtenu une seule boule noire » ;  On note A2 l’évènement : «on a obtenu deux boules noires». Calculer les probabilités de A0, A1 et A2.
Les boules sont indiscernables au toucher, il y a donc équiprobabilité.
On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules simultanément de l’urne : il y a  tirages possibles. 
Il faut choisir deux boules rouges parmi les 4 boules rouges pour que A0 soit réalisé donc p(A0) =  =  		

	
B0	

	

	

	
A0	
	
B1	

	

	

	

B2	

	

	

	

B0	

	
A1	

	

	
B1	

	

	

	

	

	
A2	
1	
B0	

Il faut choisir une boule rouge parmi les quatre rouges et une noire parmi les deux noires pour que A1 soit réalisé donc  p(A1) =  = 
Il faut choisir deux boules noires parmi les 2 boules noires pour que A2 soit réalisé donc p(A2) =  =  
2° Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l’urne. On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne. On note B0 l’évènement : « on n’a obtenu aucune boule noire au tirage no 2 » On note B1 l’évènement : « on a obtenu une seule boule noire au tirage no 2 » On note B2 l’évènement : « on a obtenu deux boules noires au tirage no 2 » a) Calculer pA(B0), pA(B0) et pA(B0).
Si A0 est réalisé, il reste deux boules rouges et deux boules noires dans l'urne.
Il faut alors choisir deux boules rouges parmi les deux boules rouges qui restent pour que B0 soit réalisé donc
pA(B0) =  = 
Si A1 est réalisé, il reste trois boules rouges et une boule noire dans l'urne.
Il faut alors choisir deux boules rouges parmi les trois boules rouges qui restent pour que B0 soit réalisé donc
 pA(B0) =  = 
Si A2 est réalisé, il ne reste que des  boules rouges et B0 est toujours réalisé et pA(B0) = 1
b) En déduire p(B0).
p (B0) = p(A0  B1) + p(A1  B1) + p(A2  B1) = p(A0)  pA(B0) + p(A1)  pA(B0) + p(A2)  pA(B0) 
=    +    +  = 
c) Calculer p(B1) et p(B2).
p (B1) = p (A0  B1) + p (A1  B1) + p (A2  B1) = p(A0)  pA(B1) + p(A1)  pA(B1) + 0 =    +    = 
p (B2) = p (A0  B2) + p (A1  B2) + p (A2  B2) = p(A0)  pA(B2) + 0 + 0 =    =  
d) On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu une seule boule noire lors du premier ?
pB(A1) =  =  = 
3° On considère l’évènement R : « il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient extraites de l’une ». Montrer que p(R) =  .
p(R) = p(A0  B2) + p(A1  B1) =    +    +  =  +  =  = 

Pour compléter le tableau.
Si A0 est réalisé, il reste deux boules rouges et deux boules noires dans l'urne.
Il faut alors choisir deux boules rouges parmi les deux boules rouges qui restent pour que B0 soit réalisé donc
pA(B0) =  = 
Il faut choisir une boule rouge parmi les deux rouges et une noire parmi les deux noires pour que B1 soit réalisé donc  pA(B1) =  =  = 
Il faut choisir deux boules noires parmi les deux boules noires pour que B2 soit réalisé donc pA(B2) =  =