_ Baccalauréat série S Antilles–Guyane juin 2003_  EXERCICE 2 5 points
Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d’un article ; un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par l’entreprise A pouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure avec une probabilité égale à 0,03 et un défaut sur un composant électronique avec une probabilité égale à 0,02.
Le contrôle a montré aussi que les deux défauts étaient indépendants. Un article est dit défectueux s’il présente au moins l’un des deux défauts.
1° Montrer que la probabilité qu’un article fabriqué par l’entreprise A soit défectueux est égale à 0,0494.
2° Une grande surface reçoit 800 articles de l’entreprise A. Soit X la variable aléatoire qui à cet ensemble de 800 articles associe le nombre d’articles défectueux.
a) Définir la loi de X.
b) Calculer l’espérancemathématique de X. Quel est le sens de ce nombre?
3° a) Un petit commerçant passe une commande de 25 articles à l’entreprise A.
Calculer, à 10−3 près, la probabilité qu’il y ait plus de 2 articles défectueux dans sa commande.
b) Il veut que sur sa commande la probabilité d’avoir au moins un article défectueux reste inférieure à 50 %. Déterminer la valeur maximale du nombre n d’articles qu’il peut commander.
4° La variable aléatoire, qui à tout article fabriqué par l’entreprise associe sa durée de vie en jours, suit une loi exponentielle de paramètre 0,000 7, c’est-à-dire de densité de probabilité la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :
f (x) = 0,0007 e−0,0007x.
Calculer la probabilité, à 10−3 près, qu’un tel article ait une durée de vie comprise entre 700 et 1 000 jours.

correction

Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d’un article ; un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par l’entreprise A pouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure avec une probabilité égale à 0,03 et un défaut sur un composant électronique avec une probabilité égale à 0,02. Le contrôle a montré aussi que les deux défauts étaient indépendants. Un article est dit défectueux s’il présente au moins l’un des deux défauts.
1° Montrer que la probabilité qu’un article fabriqué par l’entreprise A soit défectueux est égale à 0,0494.
S : L'article a un défaut de soudure. P(S) = 0,03
E : l'article a un défaut sur un composant électronique. P(E) = 0,02.
E et S sont indépendants donc P(E  S) = P(E)  P(S) = 0,03  0,02 = 0,0006.
S  E : l'article est défféctueux.
P(S  E) = P(S) + P(E) – P(S  E) = 0,03 + 0,02 – 0,0006 = 0,0494.
2° Une grande surface reçoit 800 articles de l’entreprise A. Soit X la variable aléatoire qui à cet ensemble de 800 articles associe le nombre d’articles défectueux. Définir la loi de X.
On répète 800 fois la même épreuve de bernouilli avec deux issues possibles : l'article est déffectueux ou l'article ne l'est pas. Les épreuves soent indépendantes puisque les défauts d’un article ne dépendent pas d’un autre articles
. X compte le nombre d'articles déffectueux donc X suit une loi binomiale de paramètre 800 et P(D) = 0,0494.
b) Calculer l’espérance mathématique de X. Quel est le sens de ce nombre?
E(X) = n  p = 800  0,0494 = 39,52. Sur un lot de 800 articles il y a en moyenne 40 articles déffectueux. 
3° a) Un petit commerçant passe une commande de 25 articles à l’entreprise A.
Calculer, à 10−3 près, la probabilité qu’il y ait plus de 2 articles défectueux dans sa commande.
Si N représente le nombre d'article défectueux de la comande. N suir une loi binomiale de paramètre 25 et 0,0494
P(N  2) = 1 – P(N = 0) + P(N = 1) + P(N = 2) 
= 1 – 0,950625 + 25  0,950624  0,0494 +   0,950623  0,04942  0,1238.
b) Il veut que sur sa commande la probabilité d’avoir au moins un article défectueux reste inférieure à 50 %. Déterminer la valeur maximale du nombre n d’articles qu’il peut commander.
Soit n le nombre d'articles à commander et N le nombre d'articles défectueux de la comande.
P (N  1)  0,5  1 – P (N = 0)  0,5  1 – 0,9506n  0,5  0,9506n  0,5  n  ln (0,9506)  ln (0,5)
 n   car ln (0,5) < 0    13,68 donc pour que la probabilité d'avoir au moins un article défectueux soit inférieur à 50% le comerçant de doit pas commander plus de 13 articles.
4° La variable aléatoire, qui à tout article fabriqué par l’entreprise associe sa durée de vie en jours, suit une loi exponentielle de paramètre 0,000 7, c’est-à-dire de densité de probabilité la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : f (x) = 0,0007 e−0,0007x.
Calculer la probabilité, à 10−3 près, qu’un tel article ait une durée de vie comprise entre 700 et 1 000 jours.
P(700  T  1000) =  =  =  = – e–0,7 + e–0,49  0,116 .
La probabilité qu’un article ait une durée de vie comprise entre 700 et 1000 jours est égale à 0,116 à 10–3  près

E(X) = k = 
On sait que  =   donc 
E (X) =  = = n  p  
= n  p  (p + q)n–1 = n  p