Baccalauréat S Polynésie juin 2002  5 points  Commun à tous les candidats
On dispose d’une grille à trois lignes et trois colonnes. Une machine M1 place au hasard un jeton dans une case de la grille, puis une machine M2 place de même un jeton sur la grille dans une case libre et enfin une troisième machine M3 place un jeton dans une case libre. 
On note les évènements suivants :
• H: « Les trois jetons sont alignés horizontalement » ;
• V: « Les trois jetons sont alignés verticalement » ;
• D: « Les trois jetons sont alignés en diagonale » ;
• N: « Les trois jetons ne sont pas alignés ».	
	
A	
B	
C	

1	

	

2	

	

3	

	

Les nombres demandés seront donnés sous forme de fraction irréductible.
1° Calculer les probabilités des trois évènements H, V et D.
En déduire que la probabilité de N est égale à .
2° On considère la variable aléatoire X définie par :
• X = 20, lorsque H ou V est réalisé ;
• X = , lorsque D est réalisé ;
• X =−2, lorsque N est réalisé.
Déterminer  pour que l’espérance de X soit nulle.
Hors sujet : Dans le cas où  = 16, calculer E(X), V(X) et X et représenter graphiquement la fonction de répartition F
3° Dans cette question, on se place dans le cas où la machine M1 est déréglée ; elle place alors le premier jeton dans l’un des coins de la grille.
On note Δ l’évènement : « la machineM1 est déréglée ».
a) Calculer la probabilité d’avoir un alignement horizontal c’est-à-dire pΔ(H),
puis de même, d’avoir un alignement vertical pΔ(V), d’avoir un alignement en diagonale pΔ(D).
b) En déduire que la probabilité d’avoir un alignement horizontal ou vertical ou diagonal, est égale à .
4° A désigne l’évènement « les trois jetons sont alignés horizontalement ou verticalement ou en diagonale ». On admet que p(Δ) = .
Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant en précisant les cinq probabilités correspondantes :
		A	

			
		A	

Calculer p(A) . (On pourra remarquer que p(A) et p () ont déjà été calculées.)
5° On ne sait pas lorsqu'on joue, si la machine M1 est en bon état de marche. On joue une partie et on constate que les trois jetons sont alignés. Déterminer la probabilité pour que la machine M1 soit déréglée.

On dispose d’une grille à trois lignes et trois colonnes. Une machine M1 place au hasard un jeton dans une case de la grille, puis une machine M2 place de même un jeton sur la grille dans une case libre et enfin une troisième machine M3 place un jeton dans 

une case libre. 
On note les évènements suivants :
• H: « Les trois jetons sont alignés horizontalement » ;
• V: « Les trois jetons sont alignés verticalement » ;
• D: « Les trois jetons sont alignés en diagonale » ;
• N: « Les trois jetons ne sont pas alignés ».Les nombres demandés seront donnés sous forme de fraction irréductible.1° Calculer les probabilités des trois évènements H, V et D.En déduire que la probabilité de N est égale à .		
A	
B	
C	

1	

	

2	

	

3	

	

Il y a  manières de remplir 3 cases parmis 3  3 cases .
Il y a 3 maniéres de remplir 3 cases alignés horizontalement. 
Il y a 3 maniéres de remplir 3 cases alignés verticalement. 
Il y a 2 maniéres de remplir 3 cases alignés en diagonale. 
Il y a équiprobabilité donc : p(H) =  =  =  = p(V) et p(D) =  =  = 
p() =  +  +  =  et p(N) = 1 –  = 
Variante. Pour remplir trois cases la machine M1 a 9 possibilités, la machine M2 en a 8 et la machine M3 en a  7Pour remplir trois cases verticalement 
M1 a 9 possibilités de placer le 1ier jeton  M2 a alors 2 possibilités de placer le 2ième jeton et M3 n'a qu'une possibilité de placer le 3ième jeton    On a donc : p(V) =  =  = p(H)
Pour remplir trois cases en diagonale 
soit la machine M1 place le premier jeton a un coin et alors  la machine M1 a 4 possibilités de placer le jeton a un coin, la machine M2 a alors 2 possibilité de placer le 2ième jeton et la machine M3 n'a alors qu'une possibilité de placer le 3ième  jeton 
soit la machine M1 place le 1ier jeton au centre du carré et alors la machine M2 a alors 4 possibilités de placer le 2ième jeton et la machine M3 n'a alors qu'une possibilité de placer le 3ième jeton 
p(D) =  +  = 
2° On considère la variable aléatoire X définie par : • X = 20, lorsque H ou V est réalisé • X = , lorsque D est réalisé • X =−2, lorsque N est réalisé. Déterminer  pour que l’espérance de X soit nulle.
X	20		– 2	E(X) = 20   +    – 2   = . 
E(X) = 0   = 16.	
P	 = 		  = 		
Hors sujet : Dans le cas où  = 16, calculer E(X), V(X) et X et représenter graphiquement la fonction de répartition F
E(X) = 0. V(X) =  X =  =   6,19 

1

3° Dans cette question, on se place dans le cas où la machine M1 est déréglée ; elle place alors le premier jeton dans l’un des coins de la grille. On note Δ l’évènement : « la machineM1 est déréglée ». a) Calculer la probabilité d’avoir un alignement horizontal c’est-à-dire pΔ(H), puis de même, d’avoir un alignement vertical pΔ(V), d’avoir un alignement en diagonale pΔ(D).
Pour remplir trois cases horizontalement 
M1 a 4 possibilités M2 a alors 2 possibilités et M3 n'a qu'une possibilité.
Pour remplir trois cases M1 a 4 possibilités M2 a alors 8 possibilités et M3 a 7 possibilités.
p(H) =  =  = p(V)
Pour remplir trois cases en diagonale la machine M1 place le premier jeton a un coin et alors  la machine M1 a 4 possibilités de placer le jeton a un coin, la machine M2 a alors 2 possibilité de placer le 2ième jeton et la machine M3 n'a alors qu'une possibilité de placer son jeton 
p (D) =  =  
b) En déduire que la probabilité d’avoir un alignement horizontal ou vertical ou diagonal, est égale à .
p (N) =   3 = 
4° A désigne l’évènement « les trois jetons sont alignés horizontalement ou verticalement ou en diagonale ». On admet que p(Δ) = . Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant en précisant les cinq probabilités correspondantes :

		A	

			

	
		A	

Calculer p(A) . (On pourra remarquer que p(A) et p () ont déjà été calculées.)
p(A) =    +    = 
5° On ne sait pas lorsqu'on joue, si la machine M1 est en bon état de marche. On joue une partie et on constate que les trois jetons sont alignés. Déterminer la probabilité pour que la machine M1 soit déréglée.
pA () =  =