Liban - Série S - juin 2003  Exercice 1 (4 points)
Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches.
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. 
On répète n fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants.
On note pn la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n – 1 premiers tirages et une boule blanche lors du du nième  tirage.
1° Calculer les probabilités p2, p3 et p4.
2° On considère les événements suivants :
Bn : « On tire une boule blanche lors du n−ième tirage »
Un : « On tire une boule blanche et une seule lors lors des n – 1 premiers tirages »
a) Calculer la probabilité de l’événement Bn.
b) Exprimer la probabilité de l’événement Un en fonction de n.
c) En déduire l’expression de pn en fonction de n et vérifier l’égalité : pn =  × .
3° On pose : Sn = p2 + p3 +···+ pn.
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a :
Sn = 1 –   .
b) Déterminer la limite de la suite (Sn).

correction

Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants. On note pn la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n – 1 premiers tirages et une boule blanche lors du du nième  tirage. 1° Calculer les probabilités p2, p3 et p4.
A chaque épreuve, la probabilité de tirer une boule blanche de l’urne est égale à  =  , et donc celle de tirer une boule noire est de   (événement  contraire).
p2 : correspond au tirage de deux boule blanche : p2 =     =    
p3 : on tire trois boules : une noire une blanche lors des deux premiers tirages 2     et une dernière blanches 
Les tirages sont indépendants donc p2 = 2       = 
p4 : on tire quatre boules : deux noire et une blanche lors des trois premiers tirages 3     et une dernière blanche  on a donc p4 = 3       =    
2° On considère les événements suivants : Bn : « On tire une boule blanche lors du nième tirage » Un : « On tire une boule blanche et une seule lors lors des n – 1 premiers tirages » a) Calculer la probabilité de l’événement Bn.
Lors du nième tirage il y a toujours 4 noires et deux blanches donc p(Bn) =  
b) Exprimer la probabilité de l’événement Un en fonction de n.
Un est réalisé lorsque au cours des n−1 épreuves identiques et indépendantes à deux issues, le « succès » (obtenir une boule blanche lors du tirage d’une boule) est obtenu une seule fois.
Si on note X le nombre de boules blanches tirées lors des n–1ième  premier tirage X suit donc une loi binomiale de paramètre  et n – 1 et on a : p(Un) = p(X = 1) = (n – 1)      
c) En déduire l’expression de pn en fonction de n et vérifier l’égalité : pn =  × .
les événements Bn et Un sont indépendants donc pn = p(Un  Bn) = p(Un)  p(Bn) = (n – 1)     
pn = (n – 1)       = (n – 1)    =  
Vérification : p2 =    = , p3 =    =  et p4 =    =    
3° On pose : Sn = p2 + p3 +···+ pn. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a :
 Sn = 1 –   .
Initialisation : S2 = p2 =   et 1 –    = 1 – 2   =  =  On a bien S2 = 1 –    
Hérédité : Si Sn = 1 –     
alors Sn+1 = Sn + pn+1 = 1 –    +    = 1 +    = 
1 +    =  1 –    = 1 –    = 1 –   
 = 1 –    
Conclusion : pour tout entier naturel n supérieur ou égale à 2 : Sn = 1 –     

b) Déterminer la limite de la suite (Sn).
Sn = 1 –    = 1 –     –  
 < 1 donc   = 0 
   =   exp On pose N = n  ln   on a alors    =     N eN donc 
    =      N eN  = 0 et donc et  Sn = 1.