Un sujet commun de Physique peut être créé par trois professeurs X , Y et Z avec les probabilités suivantes compte tenu de l'expérience des années précédentes : p(X) =0,35, p(Y) = 0,40 et p(Z) = 0,25.Les étudiants craignent un sujet portant sur la relativité (événement R), et, connaissant leurs professeurs, pronostiquent : pX(R) = 0,2, pY(R) = 0,5 et pZ(R) = 0,8.
I° Traduire l'hypothèse pX(R) = 0,2 par une phrase liée aux probabilités conditionnelles.
Traduire à l'aide d'un arbre de probabilités les données de l'énoncé.
2° Calculer la probabilité pour que le sujet posé porte sur la relativité.
3° Le sujet porte sur la relativité à l'examen ; quelle est alors la probabilité pour que X ait créé ce sujet ?	
 Un même individu peut être atteint de surdité unilatérale (portant sur une seule oreille) ou bilatérale (portant sur les deux oreilles). On admet que, dans une population donnée, les deux événements :
D « être atteint de surdité à l'oreille droite », G « être atteint de surdité à l'oreille gauche »,  sont indépendants et tous deux de probabilité 0,05 ce que l'on note p(D) = p(G) = 0,05 . On considère les événements suivants :
B « être atteint de surdité bilatérale »	
U « être atteint de surdité unilatérale »	

S « être atteint de surdité (sur une oreille au moins) ».	

(On donnera les valeurs numériques des probabilités sous forme décimale arrondie à 10– 4 près.)
1° Exprimer les événements B et S à l'aide de G et de D, puis calculer les probabilités p(B) et p(S). En déduire la probabilité p(U) .
2° Sachant qu'un sujet pris au hasard dans la population considérée est atteint de surdité, quelle est la probabilité :
a) pour qu'il soit atteint de surdité à l'oreille droite ?   b) pour qu'il soit atteint de surdité bilatérale ?
Les deux événements « D sachant que S » et « G ,sachant que S » sont-ils indépendants ?	

 1° Quand le professeur X donne un sujet la probabilité pour que le sujet porte sur la relativité est de 0,2.

X

Y

Z

R

R

R

0,35

0,4

0,25

0,2

0,5

0,8

0,8

0,5

0,2

2° p = 0,35  0,2 + 0,4  0,5 + 0,25  0,8 = 0,47.
3° PR(X) =  =  =  
 1° B = G  D  et S = G  D.
P(B) = P(G  D) = P(G)  P(D)  car G et D sont indépendants.
P(B) = 0,05  0,05 = 0,0025
P(S) = P(G  D) = P(G) + P(D) – P(G  D) 
= 0,05 + 0,05 – 0,0025 = 0,0975
P(U) = P(S) – P(B) = 0,0975 – 0,0025 = 0,095
2° a) PS(D) =  =  =  =  = 
b) PS(B) =  =  =  =  =   
PS(D  G) =  =   =  = 
PS(D) = PS(G) =  donc PS(D)  PS(G) =     PS(D  G)
Les événements ne sont pas indépendants.