France Juin 2005 
EXERCICE 1 (4 points)           Commun à tous les candidats
Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances.
Partie A : question de cours
On suppose connus les résultats suivants :
(1) deux suites (Un) et (Vn) sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et Un – Vn tend vers 0 quand n tend vers +  ;
(2) si (Un) et (Vn,) sont deux suites adjacentes telles que (Un) est croissante et (Vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant à N, on a Un  Vn ;
(3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.
Démontrer alors la proposition suivante :
« Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ».
Partie B
On considère une suite (Un), définie sur  dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite Vn = 
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1) Si (Un) est convergente, alors (Vn) est convergente.
2) Si (Un) est minorée par 2, alors (Vn) est minorée par – 1.
3) Si (Un) est décroissante, alors (Vn) est croissante.
4) Si (Un) est divergente, alors (Vn) converge vers zéro.

EXERCICE 1 (4 points) Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances.
Partie A : question de cours On suppose connus les résultats suivants : (1) deux suites (Un) et (Vn) sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et Un – Vn tend vers 0 quand n tend vers +  ; (2) si (Un) et (Vn,) sont deux suites adjacentes telles que (Un) est croissante et (Vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant à N, on a Un  Vn ; (3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente. Démontrer alors la proposition suivante :
« Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ».
D'après (2) on a pour tout entier n , Un  Vn 
Comme (Un) est croissante on a pour tout entier n , U0  Un 
On a donc pour tout entier n , U0  Un  Vn. 
La suite (Vn) est décroissante et minorée par U0  elle est donc convergente vers un limite finie l
On démontre de même que pour tout entier n, Un  V0 0,5   
La suite (Un) est croissante et majorée par V0  elle est donc convergente vers un limite finie l '
On sait que  on a donc  Un – Vn = l ' – l = 0. 
Les suite (Un) et (Vn) converge donc vers la même limite   
Partie B
On considère une suite (Un), définie sur  dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite Vn = 
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1) Si (Un) est convergente, alors (Vn) est convergente.  
Contre-exemple : La suite (Un) définie par Un =   converge vers 0+ alors la suite (Vn) diverge vers –  .
2) Si (Un) est minorée par 2, alors (Vn) est minorée par – 1.      
On a pour tout entier n, Un  2 > 0 
donc comme la fonction inverse est décroissante sur ] 0 ; +   [ on peut dire que :      
alors en multipliant par – 2 < 0 on obtient : 
– 2    – 2    c’est à dire  Vn  – 1 
La suite (Vn) est donc minorée par – 1
3) Si (Un) est décroissante, alors (Vn) est croissante.       
Par exemple la suite (Un) définie par : Un = – n – 1 est décroissante. 
La suite (Vn) est alors définie par :  Vn =  =  
elle est donc décroissante.
4) Si (Un) est divergente, alors (Vn) converge vers zéro.        
Un suite divergente n'admet pas toujours une limite infinie.
Par exemple la suite (Un) est définie par : Un = (– 1)n est divergente 
La suite (Vn) est alors telle que pour tout entier n,  Vn =  
La suite (Vn) est divergente