Liban 2004
a) P  (n) :    
b) Initialisation : Si n = k on a :  = . donc P  (k) est vraie.
Hérédité : soit n  k.
Si P  (n) est vérifié alors   
On a donc :  =  =   
    donc        car 0 <   1
On a donc bien :   
P  (n + 1) est donc vérifié.
Conclusion :  n  k,   
b) On a :    =    =  . 
On sait que :     donc           car  > 0
On a donc bien :        
c) Pour tout réel x positif et strictement supérieur à k on a  < 1  donc   = 0.
donc     = 0.
0         et     = 0. D'après le théorème des gendarmes on peut dire que   = 0.
2° a)  =       ….         (n – 1 facteurs)
pour tout entier i on a :   1 donc :        ….    1  1  1  …  1    (n – 1 facteurs)
On a bien :   1.
b)   n =   n. On sait que  n = + . d'après les théorème de comparaison de limites on a   = + .