Liban juin 2005 Exercice 3 (8 points}
Partie A      On considère la suite (Un ) définie par :
pour tout entier naturel n non nul, Un  = 
1° Montrer que la fonction f : t  (2 – t) et  est une primitive de g : t  (1 – t) et  sur [0 , 1].
En déduire la valeur de U1 .
2° Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout n non nul,
Un+1 = (n + 1) Un  – 1                 (R)
Partie B     On regarde d'abord ce qu'affichent deux calculatrices différentes pour les valeurs approchées des 25 premiers termes de la suite (Un) en utilisant pour le calcul la relation de récurrence (R) ci-dessus.
Voici les résultats affichés par ces deux calculatrices :
Valeur de n	Valeur de Un affichée par la première calculatrice	Valeur de Un affichée par la deuxième calculatrice	
1	7,1828182845 E – 01	7,1828182846 E – 01	
2	4,3656365691 E – 01	4,3656365692 E – 01	
3	3,0969097075 E – 01	3,0969097076 E – 01	
4	2,3876388301 E – 01	2,3876388304 E – 01	
5	1,9381941508 E – 01	1,9381941520 E – 01	
6	1,6291649051 E – 01	1,6291649120 E – 01	
7	1,4041543358 E – 01	1,4041543840 E – 01	
8	1,2332346869 E – 01	1,2332350720 E – 01	
9	1,0991121828 E – 01	1,0991156480 E – 01	
10	9,9112182825 E – 02	9,9115648000 E – 01	
11	9,0234011080 E – 02	9,0272128000 E – 02	
12	8,2808132963 E – 02	8,3265536000 E – 02	
13	7,6505728522 E – 02	8,2451968000 E – 02	
14	7,1080199309 E – 02	1,5432755200 E – 01	
15	6,6202989636 E – 02	1,3149132800 E + 00	
16	5,9247834186 E – 02	2,0038612480 E + 01	
17	7,2131811612 E – 03	3,3965641216 E + 02	
18	– 8,7016273909 E – 01	6,1128154189 E + 03	
19	– 1,7533092042 E + 01	1,1614249296 E + 05	
20	– 3,5166184085 E + 02	2,3228488592 E + 06	
21	– 7,3858986580 E + 03	4,8779825043 E + 07	
22	– 1,6249077047 E + 05	1,0731561499 E + 09	
23	– 3,7372887209 E + 06	2,4682591448 E + 10	
24	– 8,9694930302 E + 07	5,9238219474 E + 11	
25	– 2,2423732585 E + 09	1,4809554869 E + 13	
Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (Un) quand on examine les résultats obtenus avec la première calculatrice ? Et avec les résultats obtenus avec la deuxième calculatrice ?
Partie C     Dans cette partie on se propose d'étudier la suite (Un) à partir de la définition : 
pour tout entier naturel n non nul, Un = .
1° Montrer que pour tout entier naturel n non nul, Un  0
2° a) Montrer que pour tout réel t de l'intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel non nul n : 
(1 – t)n  et  e  (1 – t)n
b) En déduire que pour tout n non nul, Un  
3° Déterminer la limite de la suite (Un)
Partie D    Dans cette partie, on se propose d'exploiter la relation de récurrence (R) vérifiée par la suite (Un)
Un+1 = (n + 1) Un – 1
Etant donné un réel a, on considère la suite (Vn) définie par :
V1 = a et pour tout entier naturel non nul, n : Vn+1 = (n + 1) Vn – 1
En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul n, 
Vn = Un + (n !) (a + 2 – e) où n !  désigne le produit des n premiers entiers naturels non nuls.
Etudier le comportement de la suite (Vn) à  l'infini suivant les valeurs de a.
On rappelle que  n ! = +   
En déduire une raison susceptible d'expliquer les résultats affichées par les deux calculatrices.
Exercice 3 (8 points}
Partie A      On considère la suite (Un ) définie par : pour tout entier naturel n non nul, Un  = 
1° Montrer que la fonction f : t  (2 – t) et  est une primitive de g : t  (1 – t) et  sur [0 , 1]. En déduire la valeur de U1 .
f '(t) = – 1  et + (2 – t) et = (– 1 + 2 – t) et  = g(t)
2° Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout n non nul, Un+1 = (n + 1) Un  – 1                 (R)
U1 = t =  = (2 – 1) e1 – (2 – 0) e0 = e – 2.
 donc  =  – 
Donc Un = (1 – 1) e1 – (1 – 0) e0 + n Un–1 = – 1 + n Un–1 
Partie B     On regarde d'abord ce qu'affichent deux calculatrices différentes pour les valeurs approchées des 25 premiers termes de la suite (Un) en utilisant pour le calcul la relation de récurrence (R) ci-dessus.
Voici les résultats affichés par ces deux calculatrices : Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (Un) quand on examine les résultats obtenus avec la première calculatrice ? Et avec les résultats obtenus avec la deuxième calculatrice ?
D'après la première calculatrice  Un = –   et d'après la seconde   Un = +   
partie C     Dans cette partie on se propose d'étudier la suite (Un) à partir de la définition : pour tout entier naturel n non nul, Un = . 1° Montrer que pour tout entier naturel n non nul, Un  0
  x  [0 , 1], 1 – t  0 donc (1 – t)n  0 donc (1 – t)n et  0
On a donc pour tout entier n ,   0.
2° a) Montrer que pour tout réel t de l'intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel non nul n : (1 – t)n  et  e  (1 – t)n
0  t  1  et   e1
En multipliant par (1 – t)n qui est positif on obtient
(1 – t)n et   (1 – t)n e  
b) En déduire que pour tout n non nul, Un  
On intègre les inégalité sur l'intervalle [0 , 1] on obtient :    
 =  =   e –    e = 
Donc pour tout entier n : Un    
3° Déterminer la limite de la suite (Un)
   = 0 et pour tout entier n , 0  Un   donc d'après le théorème des gendarmes on a :  Un = 0.
Partie D    Dans cette partie, on se propose d'exploiter la relation de récurrence (R) vérifiée par la suite (Un) Un+1 = (n+1) Un –1
Etant donné un réel a, on considère la suite (Vn) définie par : V1 = a et pour tout entier naturel non nul, n : Vn+1 = (n + 1) Vn –1
1° En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul n, 
Vn = Un + (n !) (a + 2 – e) où n !  désigne le produit des n premiers entiers naturels non nuls.
P  (n) : Vn = Un + (n !) (a + 2 – e)
Initialisation : V1 = a et U1 + 1 !  (a + 2 – e) = e – 2 + a + 2 – e = a   donc P  (1) est vérifiée.
Hérédité : Si P  (n) est vérifiée alors Vn = Un + (n !) (a + 2 – e)
Vn+1 = (n + 1) Vn – 1 = (n + 1)  (Un + (n !) (a + 2 – e)) – 1 = (n + 1) Un + (n + 1)  (n !) (a + 2 – e) – 1
On sait que pour tout entier n, 
Un+1 = (n + 1) Un – 1 donc Vn+1 = (n + 1)  (n !) (a + 2 – e) = ((n + 1) !) (a + 2 – e)
Donc P  (n + 1) est vérifiée.
2° Etudier le comportement de la suite (Vn) à  l'infini suivant les valeurs de a. On rappelle que  n ! = +   
  Un = 0 et  n ! = +   on a donc 
Si a + 2 – e = 0 c’est à dire a = e – 2 et pour tout entier n Vn = Un et  Vn = 0
Si a + 2 – e  0 c’est à dire a  e – 2    Vn = –   
Si a + 2 – e = 0 c’est à dire a  e – 2 et    Vn = +   
3° En déduire une raison susceptible d'expliquer les résultats affichées par les deux calculatrices.
la première calculatrice a utilisé une valeur approchée de 2 – e par défaut et la seconde une valeur approchée par excès